Б. К. Шишкин родился в семье священника. В 1911 году окончил медицинский факультет Томского университета. В 1913—1915 годах преподавал в этом же университете.
В 1915—1918 годах — военный врач.
В 1918—1925 годах Б. К. Шишкин работал заведующим отделом ботаники Кавказского музея в Тифлисе. В 1925 году он вернулся в Томский университет и до 1930 года был профессором кафедры морфологии и систематики растений.
Далее он работал сотрудником Ботанического института АН СССР в Ленинграде, в 1938—1949 годах занимал должность директора института.
Профессор Ленинградского университета (1945—1958). Вице-президент Всесоюзного ботанического общества (1946—1963).
Борис Константинович Шишкин умер в 1963 году в Ленинграде, похоронен на Серафимовском кладбище.
Основные труды Б. К. Шишкина посвящены систематике цветковых растений (семейств гвоздичных, зонтичных, сложноцветных) и ботанической географии Сибири и Закавказья.
Также Б. К. Шишкин был редактором ряда коллективных работ, в их числе — «Флора СССР», «Флора БССР», «Флора Ленинградской области», «Флора Туркмении» и другие работы.
Всего Борис Константинович является автором более 200 научных работ.
За вклад в ботаническую науку Б. К. Шишкину в 1952 году присвоена Сталинская премия.
Также он награждён орденом Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени, медалями «За оборону Ленинграда», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.», «В память 250-летия Ленинграда».
Борис Константинович был принят в почётные члены Ботанического общества Франции и Национального географического общества (США).