Сын харьковского инженера-путейца Василия Сергеевича Косарева и литовской крестьянки из деревни под Каунасом Олимпиады (Айи) Павловны Веснечуле — Борис Косарев родился 4 августа 1897 года.
Будущий художник воспитывался в интеллигентной семье, где почитали искусство, любили музыку и литературу. Отец играл на гитаре, пел, читал стихи. Двухэтажный дом Косаревых в посёлке Южном, где проживала инженерная элита Южной железной дороги, был шумным и гостеприимным. В нём часто устраивались домашние спектакли с участием младших сестёр Олимпиады Павловны, для которых маленький Борис придумывал костюмы из тканей, достававшихся из бабушкина сундука. Лицо любимой тётушки Павлины расписывал акварельными красками сердечками и стрелами. Мать покупала сыну цветные мелки, это были его первые опыты с пастелью. Будучи женщиной набожной, Олимпиада Павловна часто рассматривала с юным Борисом иконы. Цветовая гамма икон станет излюбленной цветовой гаммой Косарева. Впрочем, отец настаивал на техническом образовании для сына.
В 1905 г., когда Борис должен был поступать в гимназию, материальное положение семьи сильно пошатнулось: отец получил тяжёлую травму головы (сохранились документы) и вынужден был оставить работу. Бориса, вместо гимназии, отдали в начальную школу при семинарии (угол Семинарской и Екатеринославской ), после чего, по настоянию матери, он должен был поступить в духовную семинарию. Семья к тому времени переехала в Харьков, в маленький домик по соседству с домом родителей будущего друга и единомышленника Косарева — Василия Ермилова.
Весной 1911, намеренно провалив вступительный экзамен в семинарию (что было для Косарева не так просто: он получил основательную подготовку в начальной школе при семинарии, в частности в области старославянского языка), 14-летний Косарев поступил в Художественно-ремесленную учебную мастерскую декоративной живописи Харьковского общества грамотности на Ветеринарной (ныне — ул. Гиршмана), 26 , которой с 1 марта 1909 заведовал Л. И. Тракал. Помимо профессиональных и общеобразовательных предметов тут преподавали также черчение и народный орнамент. Его товарищами по школе были Г. Цапок и В. Ермилов.
Первые заметные выступления юного художника со своими работами относятся к предвоенному периоду. Так, 3 марта 1914 г. газета “Южный край”, резко отозвавшаяся о выставке “Т-ва харьковских художников”, из 300 представленных на ней работ отметила только двух авторов: выдающегося пейзажиста М. Беркоса и две пастели 16-летнего Косарева.
В 1915 г. К. без экзаменов был зачислен в Художественное училище, где учился у А. Кокеля — живописи, у М. Р. Пестрикова — рисунку и у А. М. Любимова — работе с темперой и клеевыми красками. Основными предметами его на протяжении всех трёх лет обучения были станковая живопись и рисунок.
В числе его однокашников — друг и единомышленник Владимир Б?брицкий (Б?бри), эмигрировавший в 1920-тых годах в Америку и прославивший там как «импресарио иллюстрации».
В 1914-1915 годах под руководством будущего мужа тётки, художника-декоратора Александра Григорьевича Гончаренко К. расписывает несколько церквей. (Расписывать церкви Гончаренко брал с собой Косарева ещё во время обучения последнего у Тракала.)
В 1915 К. пробует свои силы как помощник декоратора под рук. М. Я. Офенгендта в Летнем театре оперетты. Через год, в сезон 1916-17 гг., К. совместно с Бобрицким принимает участие в оформлении “Бранда” Ибсена в харьк. драм. театре: ему поручают пейзажные сцены. С этого начинается его карьера театрального художника.
В эти годы К. исповедует эстетические идеалы футуризма — входит в группу харьковских кубофутуристов “Союз Семи” (“Семёрка”, как называл её сам Б. В.). Её членами были также В. Бобрицкий (1898-1986), В. Дьяков, Н. Калмыков, Н. Мищенко (1895-1960), Г. Цапок (1896-1971) и Б. Цибис (1895-1957).
В 1918 группа издала альбом своих работ под назв. “Семь плюс Три” ("Три" — это друзья и единомышленники "Семёрки" художники-авангардисты Александр Гладков, Василий Ермилов и Мане-Кац). Планировалось издать также сб. стихов Измаила Уразова и ещё один альбом (“Семь плюс ?”), а также монографию о Бобрицком, сборник автолитографий Косарева (12 листов) и сборник гравюр по дереву Цибиса, — ничего из этих планов не осуществилось.
Весной 1918 г. К. и др. члены “Семёрки” участвовали в выставке “Союза искусств” (открылась 7 мая в Художественном училище; выставлялись также В. В.Бобрицкий, Л. П.Гертик, А. Н. Грот, М. Л. Мане-Кац, Н. Р. Саввин, Г. А. Цапок, Б. Цибис и др.; ниже см. рецензию).
Летом того же года вместе с Мищенко и Цибисом К. оформил несколько № № журнала “Колосья”, а с Бобрицким и Цапком, с которыми его связывали, по-видимому, наиболее тесные творческие и личные отношения, — помещение артистического театра-кабаре “Дом артиста”. Эта его работа вызвала повышенный интерес в городе — и в связи с приключившимся по ходу её выполнения скандалом (см. "Косарев. Хлебников. Харьков"), и благодаря своему высокому художественному уровню. М. В. Чернова (см. список литературы), ссылаясь на свидетельство Цапка, пишет, что фонари, расписанные Косаревым, хвалили Маяковский, режиссёр Н. Н. Евреинов, художник Н. Акимов и др. А вот как описывал открытие кабаре “Театральный Журнал” в № 6 за 1918 г.: “По стенам живопись кружка молодых художников “Семь плюс три”... Не слишком оригинально, но ярко и пестро... Особенно удались фонари: они оригинальны, хотя и несколько однообразна их чёрная “верблюжья” трактовка...“.
Театральные работы 1919 года — оформление спектаклей "Вознесение Ганнеле Маттерн" Г. Гауптмана, "Пан" Ш. Ван Лерберга, "Собака садовника" Лопе де Вега, "Брандт" Г. Ибсена, "Сестра Беатриса" М. Метерлинка, "Евреи" Е. Чирикова (все — совместно с В. Бобрицким и в постановке Б. Глаголина).
Летом, когда в Харьков вошли регулярные части Добровольческой армии, К. некоторое время прожил на загородной даче своих близких знакомых сестёр Синяковых — вместе с Велимиром Хлебниковым. А несколько позже был мобилизован и ушёл из Харькова с отступающими войсками Деникина.
Спустя некоторое время оказавшись в Одессе, К. познакомился здесь с Бабелем, благодаря которому получил работу в Губиздате. Приехавший в начале 1920 г. в Одессу из Киева Борис Ефимов, назначенный руководителем “Изагита” при ЮгРОСТА, назначил Косарева (когда “Изагит” разделился на две мастерские — плакатную и художественную) руководителем худ. мастерской. Вскоре, после отъезда Ефимова, К. возглавляет всю мастерскую ЮгРОСТА.
Во время пребывания в Одессе (1920-21 гг.) К. принимал участие также в расписывании агитпоездов и зала заседаний губревкома, в оформлении ул. Пушкинской к Конгрессу III интернационала, периодически оформлял спектакли (“Зелёный попугай” по А. Шницлера — совместно с худ. Фазини ; “Сверчок на печи” по Ч. Диккенсу — в театре “Красный факел”).
В июне 1921 г. возглавляемая К. мастерская ЮгРОСТА была переведена в Харьков. Продолжая ею руководить, он возобновляет свою работу в театре: Косарева, Г. Цапка и Н. Акимова приглашают в первый на Украине театр для детей (созданный в марте 1921 на базе Харьк. высш. театр. школы). Кроме того, в 1921-23 гг. К. у Н. Синельникова оформляет “Слугу двух господ”, и в Народном доме — “Мещанина во дворянстве”. Среди лучшего оформления тех лет — эскизы сценического пространства и грима действующих лиц спектакля (в технике коллажа) к “Хубеанам” Р. Победимского (в 1932 г. были на Международной выставке декоративного искусства в США; “16 штук пропало, — сокрушался Б. В, в разговоре, — остались только маленькие — с почтовую марку — цветные репродукции в каталоге”).
В 1923 г. К. становится членом Т-ва деятелей искусства (орг. по инициативе газеты “Вести” с целью атеистической пропаганды). Вместе с худ. В. Г. Меллером и давним товарищем Г. Цапком иллюстрирует альбом для Красной армии “Наука и религия”. За три года они изготовили ок. 150 плакатов, вошедших в альбом, выпущенный издательством “Червоний шлях”.
В 1928 г. К. принимал участие также в передвижной выставке ОСМУ (июнь-окт.; с. Каменское Запорожской обл., Запорожье, Днепропетровск) — в рамках “Всеукраинской юбилейной выставки, посвящённой 10-летию Октября” (1927-28).
Лучшее оформление — к спектаклям: “За двумя зайцами” М. Старицкого, “Марко в пеклi” И. Кочерги (оба — 1928) и “Коммольцы” Л. Первомайского (1930) — в Харьк. Червонозаводском Театре; “Соло на флейте” И. Микитенко (1932); “Мартин Боруля” И. Карпенко-Карого (1934) в Харьк. театре украинской драмы им. Т. Г. Шевченко ; “Скупой” Ж.-Б. Мольера (1937), “Івасик-Телесик” А. Шияна (1938) и “Бременские комедианты” бр. Гримм (1940) в Харьк. ТЮЗе; “Ярослав Мудрый” И. Кочерги (1946) в Харьк. театре украинской драмы им. Т. Г. Шевченко, — за этот спектакль Косарев был удостоен Сталинской премии 1-й степени за 1947 г.
Косарев был не только талантливым художником, но и прекрасным фотографом. В 1929 г. он сделал серию снимков Сорочинской ярмарки — последней перед коллективизацией (и запрещением). До наших дней сохранилось около трёх десятков стеклянных позитивов, представляющих уникальную историческую и художественную ценность. Также как фотограф Косарев в качестве ассистента Демуцкого принимал участие в съёмках "Земли" А. Довженко. От этого периода остались негативы и позитивы, на которых запечатлены рабочие моменты съёмок, фотопробы и проч.
Член СХУ с 1944. Многие годы преподавал в Харьковском художественно-промышленном институте (с 1952 — профессор). Выучил несколько поколений театральных художников и дизайнеров. Среди учеников — Ю.В.Горбунов, Т.Д.Медведь, П.А.Осначук и др.
Единственная прижизненная персональная выставка состоялась в 1960-х гг.
Работы хранятся в музеях Италии, США, Франции, Югославии, России и Украины.
Умер 23 марта 1994 в Харькове, похоронен на 13-м кладбище.