Родители Наталья Стеценко (р. 5 декабря 1945, Москва) и Александр Крюк были одноклассниками. Поженились на третьем курсе института, развелись в 1970 году, когда Борису было 4 года, и его мать вышла замуж за Владимира Ворошилова.
В 1989 году окончил МГТУ им. Баумана. По профессии — инженер-конструктор.
С 13 января 1991 по 1999 год вёл вместе с Аллой Волковой телепередачу «Любовь с первого взгляда».
Первый заместитель генерального директора телекомпании «Игра-ТВ».
Вице-президент Международной ассоциации клубов «Что? Где? Когда?».
В игре «Что? Где? Когда?» слышен только его голос. В первое время после смерти Ворошилова редакция скрывала ведущего передачи как от зрителей, так и от знатоков: его голос искажали с помощью компьютера, на площадку приезжал двоюродный брат Ворошилова (знатоки думали, что именно он ведёт игру).
Но позже Крюк раскрыл личность, его фамилия стала появляться в титрах. На данный момент Борис показывался в эфире один раз — 27 декабря 2008 года.
Несмотря на то, что Крюк ведущий передачи только с 2001 года, он принимал участие в подготовке более 100 игр — в дикторскую он впервые попал ещё в школьном возрасте. Ещё учась в школе и институте, работал на программе «Что? Где? Когда?» в качестве ассистента режиссёра, режиссёра, автора, музыкального редактора. В течение 10 лет во время каждого прямого эфира (а «Что? Где? Когда?» транслируется в прямом эфире) работал в дикторской рядом с Владимиром Ворошиловым.
Сам Борис Александрович Крюк отмечает, что в последние годы игра «Что? Где? Когда?» стала с одной стороны, более коммерциализированной, а с другой — более эмоциональной и зрелищной. Хотя судейский стиль Б. Крюка и вызывал неоднократные нарекания со стороны телезрителей, но сама игра при этом не утратила интеллектуального азарта и популярности.
Вторая жена, Инна Крюк, микробиолог по профессии. Сын — Михаил Крюк, дочь — Александра Крюк.