Впервые пришел в секцию бокса в 1955 году. Через пять лет в 1958 году впервые победил действующего чемпиона СССР — Юрия Грымова. В 1960 году накануне Олимпийских игр в Риме, в возрасте 22 лет являлся Чемпионом СССР в первом среднем весе. На самих играх сказалось отсутствие опыта международных поединков, до стадии ? финала советский спортсмен дошел без проблем, добившись легких побед над соперниками из Ганы и Австралии. В полуфинале же в равной борьбе уступил со счетом 2:3 будущему чемпиону игр американцу Уилберту Макклюру. Американец знавший о силе советского спортсмена в боксировании с дальней дистанции смог втянуть Бориса в ближний бой, где владел превосходством, что и предопределило его победу. В итоге Лагутин уехал из Рима с бронзовой медалью.
В течение следующих четырех лет Борис Николаевич дважды становился чемпионом Европы, четырежды чемпионом СССР, но главной целью оставалась победа на Олимпийских играх. В Токио Лагутин уезжал капитаном советских боксеров, и добился победы. На пути к финалу советским боксером были повержены Пауль Хог из Германии, Хосе Чирино из Аргентины, Эдди Дэвис из Ганы и Юзеф Гжешик из Польши. В финальном поединке Борис Лагутин без особых проблем со счетом 4:1 добился победы над французом Жозефом Гонсалесом.
К следующим олимпийским играм тридцатилетний спортсмен подошел в ранге ветерана, спортивные чиновники давали понять, что ни один советский боксер еще ни разу не выступал на трех Олимпиадах подряд, однако благодаря воле случая Борис Николаевич все-таки попал в сборную СССР на игры в Мехико. В первых двух олимпийских боях Лагутин победил нокаутом, отправив испанца Мойзеса Фахадро и представителя Объединенных Эмиратов Саеда Эль-Нахаза, на пол ринга во вторых раундах. Следующими на пути к финалу были повержены румын Ион Ковачи и немец Гюнтер Майер. В финале советскому спортсмену противостоял кубинец Роландо Гарбей. Бой выдался сложным, однако благодаря накдауну во втором раунде все пять судей отдали победу спортсмену из СССР.
После Олимпийских игр Борис Николаевич Лагутин завершил карьеру спортсмена. Окончив Биофак МГУ, в науку не пошел. Некоторое время работал в ЦК ВЛКСМ. В настоящее время живет в Москве. Награжден орденами и медалями.