Родился в 1919 году в городе Александровск-Грушевский (ныне город Шахты) в семье рабочего. По национальности русский.
В Шахтах рос и пошел в школу (ныне это лицей № 26 города Шахты). Затем в юном возрасте переехал в город Грозный, где учился в школе № 9 (№ 38). В 1934 году вступил в ВЛКСМ, а через год был избран секретарем комсомольской организации школы. По окончании школы продолжил учёбу в Московском институте физкультуры и спорта, где учился с 1937 по 1941 год.
В июле 1941 года с четвёртого курса института ушёл добровольцем в Красную Армию и отправлен на фронт осенью того же года.
Воевал на Ленинградском фронте, где был ранен, госпитализирован, но тайно бежал из госпиталя на фронт. В 1942 году выполнял специальные задания в тылу врага на территориях Минской и Витебской областей. В 1943 году вступил в члены ВКП(б). В мае 1943 года назначен командиром специального отряда НКГБ СССР «Помощь», который, в свою очередь, входил в группу «Артур». Отряд Галушкина смог пустить под откос двадцать четыре эшелона противника, уничтожить и повредить двадцать три паровоза, десятки автомашин, танков и тракторов, взорвать шесть складов с боеприпасами и фуражом, вывести из строя бумажную фабрику в городе Борисове Минской области, электростанцию, лесо- и льнозавод.
Погиб 15 июня 1944 года во время выхода из окружения в составе штурмовой группы, которой командовал, в районе озера Палик Борисовского района Минской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР «О присвоении звания Героя Советского Союза работникам Народного комиссариата государственной безопасности СССР» от 5 ноября 1944 года:
лейтенанту Галушкину Борису Лаврентьевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.