Родился в семье оперного певца и музыкального педагога Лазаря Иосифовича Клюзнера (1872—1918) и художницы Любови Яковлевны Клюзнер (урождённой Гордель, 1877—1942?). Окончил музыкальную школу и консерваторию в Ленинграде (1941), ученик Михаила Гнесина. В 1941—1945 гг. участник Великой Отечественной войны, закончил её в Вене в чине старшего лейтенанта. Затем вернулся в Ленинград. Согласно воспоминаниям дружившего с Клюзнером Владимира Британишского, «после войны ему чуть было не дали Сталинскую премию за его трио, но тут грянуло постановление о музыке, вместо премии его сняли с должности заместителя председателя ленинградского Союза композиторов и обрекли на долгую опалу». В 1965 г. после затяжного конфликта с руководством Ленинградского отделения Союза композиторов СССР переехал в Москву. Умер у себя на даче от третьего инфаркта.
Творчество Клюзнера ценил Дмитрий Шостакович, высокую оценку ему дал Борис Тищенко. Сергей Слонимский отмечал: