Родился в семье Леопольда Бернгардовича Левинсона и Груни Нефтелевны Гинзбург. Свой творческий путь Борис Левинсон начал в 1937 году в оперно-драматической студии имени К. С. Станиславского (ныне Московский драматический театр им. К. С. Станиславского).
В 1957 году был приглашен в Московский театр имени В.Маяковского, где Н.Охлопков распознал в нём характерно-драматического героя. Левинсон появлялся и лицедеем, и актёром народного типа, и правдоискателем в искусстве. Б.Равенских увидел в нём и комедийные черты.
А уже с середины 1970-х Левинсон играл на сцене Театра имени В.Маяковского в роли ярких, психологически развернутых образов. На его счету такие роли, как, например, Вожак («Человек из Ламанчи» Д.Вассермана и Д.Дэриона), Вермишев («Своей дорогой» Р.Ибрагимбекова), клоун Бом («Венсеремос!» Г.Боровика), Второй зам («Агент 00» Г.Боровика), Гроссман («Плоды просвещения» Л.Толстого) и др.
Ушел Левинсон из Театра имени В.Маяковского уже в пенсионном возрасте. После чего участвовал в спектаклях театра «У Никитских ворот».
Режиссёр