Родился в Ленинграде 11 ноября 1937 года. Окончил среднюю школу (бывшую 3-ю гимназию) и поступил в 1-й Ленинградский медицинский институт.
В выборе профессии он пошёл по стопам своих родителей. Отец, Моисей Борухович, доктор медицинских наук, преподавал на кафедре патологической анатомии. В годы войны он работал в блокадном Ленинграде, часто выезжал на передовую, а после создания Волховского фронта стал главным патологоанатомом, где бок о бок работал с такими выдающимися врачами, как хирург А. А. Вишневский, терапевт Н. С. Молчанов. Итоги этого периода работы были представлены в капитальном труде советских военных врачей «Опыт советской медицины в Великой Отечественной войне».
Мать Бориса Михайловича, доктор медицинских наук Людмила Сергеевна Бибинова, до 1964 года также преподавала в вузе. Таким образом, Б. М. Ариэль стал продолжателем дела своих родителей.
Уже будучи студентом второго курса, он стал заниматься научной работой. Первый его серьёзный исследовательский труд вышел, когда он был студентом четвёртого курса. Затем аспирантура, защита кандидатской диссертации, работа под руководством академика Н. Н. Аничкова. Подготовка к защите докторской диссертации вынудила молодого учёного прослушать полный курс математики в Ленинградском университете. В 43 года Б. М. Ариэль стал доктором медицинских наук.
В дальнейшем он работал ассистентом кафедры патологической анатомии Ленинградского педиатрического медицинского института, которой заведовал профессор А. В. Цинзерлинг. В 1981 году Б. М. Ариэль был приглашён на работу в Ленинградский НИИ фтизиопульмонологии, где он прошёл путь от старшего научного сотрудника до руководителя отдела лабораторной диагностики туберкулёза.
С 2011 года Б. М. Ариэль работает в С.-Петербургском государственном учреждении здравоохранения «Городское патологоанатомическое бюро» в качестве члена консультативно-экспертного совета.
Член правления Санкт-Петербургской ассоциации патологоанатомов, член диссертационных советов по защите диссертаций. Автор более 350 научных статей.