Родился в семье священника, с 14 лет управлял церковным хором. Обучался в духовном училище в Новочеркасске, в реальном училище в Ростове-на Дону и Московской консерватории.
Служил в частях генерала Врангеля и вместе с его армией выехал из России. В эмиграции в Болгарии, затем в Германии. До 1945 года служил регентом хора русской православной церкви в Берлине, настоятелем которой был архимандрит Иоанн (Шаховской). После Второй мировой войны переехал в США. С 1951 года — регент Синодального Знаменского собора в Нью-Йорке и преподаватель церковного пения Свято-Владимирской семинарии.
Б. М. Ледковский — весьма плодовитый композитор, духовно-музыкальные произведения которого отличаются «большой слитностью музыки и текста, литургического момента» (И. А. Гарднер). В типографии преподобного Иова Почаевского в Джорданвилле опубликована 1-я часть «Обихода» (Всенощное бдение) под редакцией Ледковского и три сборника.
Похоронен на кладбище Свято-Троицкого монастыря в г. Джорданвилль (США) у самой стены кладбищенской Успенской церкви.