Родился 19 ноября 1919 года в Чернигове. Еврей.
Закончил среднюю школу №2 им. А.П. Чехова в Таганроге, фабрично-заводское училище в Москве.
Работал слесарем на автозаводе «ЗИЛ», закончил аэроклуб.
В Красной Армии — с 1937 года. В 1938 году окончил Борисоглебскую авиационную школу лётчиков. Весной 1943 года Б. Ривкин был назначен командиром эскадрильи 54-го Гвардейского истребительного авиаполка (1-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, Центральный фронт), участвовал в воздушных боях на Курском направлении. К моменту окончания Курской битвы совершил 176 успешных боевых вылетов. В 9 воздушных боях сбил 12 самолётов противника сам и 7 самолётов в группе. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
После окончания войны Б. Ривкин до 1975 года служил на командных должностях в ВВС СССР. Ушёл в отставку в звании генерал-майора авиации.
Жил в городе Ростове-на-Дону.
Умер 2 октября 2004 года, похоронен на Аллее Героев Северного кладбища города Ростове-на-Дону.