Борис Николаевич Вепринцев родился в семье профессионального революционера, члена РСДРП (б) с 1903 года, Николая Александровича Вепринцева. В 1932 году отец был объявлен врагом народа, арестован и сослан в Барнаул, а через 3 года в Воркуту. В 1940 году он был списан по болезни и отправлен на жительство в Ливны. В 1941 году он скончался при эвакуации в больнице Моршанска. Матери Бориса Вепринцева после ареста главы семьи было предписано выехать из Москвы, но благодаря заступничеству друга семьи Серго Орджоникидзе они остались жить в столице.
Во время учёбы в школе в шестом классе он вступил в КЮБЗ — кружок юных биологов при Московском зоопарке. Однажды он присутствовал на встрече учёных-биологов и услышал диск с записями птичьих песен, записанные Людвигом Кохом, который жил в эмиграции в Великобритании. В 1947 году Борис Вепринцев поступил на биологический факультет МГУ. Во время учёбы он занимался научными исследованиями, бывал в биологических экспедициях. В 1951 году он был арестован по подозрению в укрывательстве отца, о судьбе которого органам было неизвестно. Борис Вепринцев был отправлен в Кемеровский лагерь. Лагерный период его жизни трактуется в самиздатовской публикации Хроникa текущих событий, но этот материал может оказаться недостоверным. После смерти Сталина Глеб Максимилианович Кржижановский обратился с просьбой освободить Бориса Вепринцева. Он был привезён в Москву и до суда находился в следственном изоляторе. Суд признал обвинения необоснованными.
Борис Вепринцев вновь вернулся в МГУ и окончил биофак в 1956 году и поступил в аспирантуру. Он занимался исследованиями свойств клеточных мембран. В 1957 году он начал записывать голоса птиц. Первый опыт получился не слишком удачным, но ему удалось создать аппарат, способный работать в природных условиях. В 1960 году вышла первая пластинка с записями птиц в природе. Один из авторских экземпляров Борис Вепринцев отправил в Великобританию Людвигу Коху. Н. С. Хрущёв одобрил пластинку с записями птичьих голосов и в дальнейшем вышло ещё несколько пластинок с такими записями. Всего за свою жизнь Борис Вепринцев сделал несколько сотен подобных записей, в числе которых более 500 птичьих голосов.
В 1971 году Б. Н. Вепринцев защитил диссертацию на соискание степени доктора биологических наук по теме «О связи электрической активности нервной клетки с синтезом в ней РНК и роли клеточной мембраны в регулировании биосинтеза РНК в клетке».