Его отцом был Фёдор Пашковский, русский православный священник (в 1934—1950 гг. — его Высокопреосвященство Митрополит Феофил), который был направлен Церковью в 1894 году в Калифорнию.
В 1912 году, когда Борису было 11 лет, отец был отозван в Россию, и вся семья вернулась домой в 1912 году. Борис поступил в духовную семинарию и окончил её в 1917 году. Во время Гражданской войны Борис служил в военно-морских частях Белой армии.
В 1920 году Борис женился на Лидии Ивановой, а когда стало ясно, что власть в стране окончательно перешла в руки большевиков, решил уехать в Соединённые Штаты. В 1921 году он сотрудничал с Христианской ассоциацией молодых людей в Берлине, где 14 июня родился его сын Эдгар Константин Борис Пашковский (также известный как Эдгар К. Б. Паш).
После возвращения с семьёй в Соединённые Штаты Пашковский поступил в Спрингфилдский колледж (штат Массачусетс), где получил степень бакалавра в области физического воспитания. Именно в это время он сменил фамилию с «Пашковский» на «Паш». До Второй мировой войны Паш преподавал в Высшей школе Голливуда в Лос-Анджелесе. Продолжив образование, он получил степень магистра в Университете Южной Калифорнии.
Офицер запаса, в 1940 году Б. Паш был призван на действительную военную службу. Он занимался вопросами безопасности Манхэттенского проекта в Лос-Аламосе.
В конце войны Б. Паш был военным руководителем миссии «Алсос». Целью этой операции было определить, насколько далеко Страны Оси продвинулись в создании ядерного оружия, а также обезвредить ядерное сырьё и захватить учёных, работавших над ядерным проектом нацистской Германии.
После войны Паш находился на различных должностях в военной разведке. В 1946—1947 гг. он служил под командованием генерала Дугласа Макартура в Японии, а в 1948—1951 гг. — в Центральном разведывательном управлении в качестве военного представителя, будучи ответственным за одиозную программу ЦРУ PB/7, также известную как операция «Бладстоун». Её задачей была вербовка бывших немецких офицеров и дипломатов, которые могли бы быть использованы в скрытой войне против Советского Союза. Среди них были бывшие члены нацистской партии, такие как Густав Хильгер и Ханс фон Биттенфельд. Он также служил в Австрии (1952—1953) и в Вашингтоне (1953—1957), где в 1954 году давал свидетельские показания по делу Роберта Оппенгеймера.
Борис Паш вышел в отставку в 1957 году, при этом повышен в звании до полковника и награжден медалью «За выдающиеся заслуги».
Скончался в возрасте 94 лет в Гринбрей, штат Калифорния. Полковник Паш увековечен в Зале славы военной разведки США.
Pash, Boris T. (1980). The Alsos Mission. New York: Charter Books. ISBN 978-0441017904