Б. И. Равенских родился в Санкт-Петербурге 14 (27) июня 1914 года(по другим источникам - 1912).
В первой половине 1930-х годов работал в Ленинградском ТРАМе под руководством М. В. Сокольского, опыт Сокольского часто использовался впоследствии Борисом Ивановичем в своих спектаклях.
Учился на режиссёрском факультете Ленинградского института сценических искусств, окончил обучение в 1935 году. В том же году стал ассистентом В. Э. Мейерхольда в ГосТиМе. работал в театре вплоть до его закрытия в 1938 году. В 1939 году в «Современном театре» (Москва) осуществил свою первую самостоятельную постановку — «Галина» И. В. Штока. В 1940—1941 годах был на практике в МХАТе. С 1941 по 1950 был режиссёром Студии имени К. С. Станиславского. В 1949 году в МАТС поставил спектакль «Свадьба с приданым» по пьесе Н. М. Дьяконова. Постановка была показана 152 раза и всегда шла с неизменным аншлагом, а сам спектакль в 1953 году был экранизирован.
Борис Равенских в 1940-е — 1950-е утверждал главенствующее положение музыки в драматическом спектакле. В эти годы им были поставлены спектакли «Свадьба с приданым» Н. М. Дьяконова, «В тиши лесов» П. Ф. Нилина, «Сердце девичье затуманилось» В. А. Курочкина. Спектакль «Сердце девичье затуманилось» не был принят критиками, но в нём Равенских достиг своей цели: представить внутреннее духовное состояние человека через музыку.
С 1960 по 1970 год был главным режиссёром МДТ имени А. С. Пушкина.
В 1970 году Борис Равенских возглавил Малый театр.
Борис Равенских преподавал в ГИТИСе, среди его учеников В. Р. Белякович, Ю. В. Иоффе.
В Большом театре в 1978 году поставил оперу Н. А. Римского-Корсакова «Снегурочка»
Супруга — народная артистка РСФСР (1974) Кирюшина, Галина Александровна (8 февраля 1934 — 9 августа 1994)
Умер Борис Иванович Равенских в Москве 10 января 1980 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок № 9).