Отец, Самуил Кашунин,й ветеран первой мировой войны, после революции примкнул к Красной Армии. В семье было трое детей, два сына и дочь. Жили в селе Крынки Витебской области Белорусской ССР. После начала Великой Отечественной войны Самуил ушёл на фронт, его жена с детьми эвакуировалась, сопровождая эшелон с коровами с ценной породы, в пути её парализовало.
Поселились в колхозе им. Степана Разина Куйбышевской области, где Борис с 14 лет работал разнорабочим, конюхом, учетчиком, окончил семь классов и поступил в Ставропольский зоотехнический техникум. В 1951 году его призвали в армию, попал на флот, где отслужил четыре года, там же получил среднее образование. После армии вернулся в Ставрополь, занялся комсомольской деятельностью, стал заведующим организационным отделом Ставропольского городского комитета ВЛКСМ, позднее стал вторым секретарем горкома ВЛКСМ.
Вскоре после возвращения из армии познакомился с будущей супругой, направленной по распределению на строительство Куйбышевской ГЭС. Поженились в 1956 году, сын Евгений родился в 1957 году, дочь Елена в 1964 году.
В 1962 году окончил Высшую партийную школу при ЦК КПСС. С 1962 года работал начальником управления кадров управления механизации Куйбышевгидростроя, затем секретарём партбюро управления механизации.
С 1964 года трудился секретарём парткома управления строительства «Куйбышевгидрострой». Внёс значительный вклад в строительство и ввод в эксплуатацию мощностей на АвтоВАЗе, заводе «Синтезкаучук».
В 1969 году окончил Куйбышевский плановый институт.
Стал председателем городского исполнительного комитета Совета народных депутатов Тольятти в 1971 году. По свидетельствам очевидцев, Кашунин отличался прямотой, принципиальностью, деловитостью, твердостью. Лично контролировал строительство новых объектов в городе, как промышленных и инфраструктурных, так и культурных. Тщательно следил за благоустройством города, мечтая сделать Тольятти образцовым. Был весьма уважаем простыми горожанами.
В 1971—1977 годах являлся депутатом Куйбышевского областного Совета народных депутатов, являлся председателем планово-бюджетной комиссии исполкома областного Совета народных депутатов (1977)
В 1978 году возвращаясь с рыбалки вместе с сыном и приятелем попал в ДТП. Борис Кашунин и водитель скончались на месте, сын попал в больницу.
Похоронен на Баныкинском кладбище.