Родился 4 марта 1921 года в селе Штеровка (ныне — посёлок Луганской области, Украина) в семье служащего. Русский. После развода родителей вместе с матерью, в трёхлетнем возрасте, уехал в Москву. Окончил 10 классов.
В Красной Армии с 1939 года. Служил в караульной роте при курсах младших лейтенантов в Кинешме, затем был переведён в полковой оркестр 537-го стрелкового полка. С началом войны направлен во Владимирское пехотное училище, которое закончил в ноябре 1941 года.
На фронтах Великой Отечественной войны с января 1942 года. Боевой путь начал в качестве командира пулемётного взвода в 664-й стрелковом полку Московской дивизии народных ополченцев. Во время контрнаступлении в Калининской области был ранен. После излечения в госпитале был направлен в 76-й гвардейский стрелковый полк 27-й гвардейской стрелковой дивизии. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Воевал под Сталинградом, участвовал в боях по освобождению Украины и Польши.
Гвардии капитан Б. С. Верижников особо отличился в ходе Люблин-Брестской операции, при форсировании реки Висла и захвате плацдарма в районе города Магнушев (Польша). Батальон под его командованием 1 августа 1944 года одним из первых в дивизии переправился на противоположный берег, обеспечив переправу других подразделений и расширение плацдарма.
Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 7193) Борису Сергеевичу Верижникову присвоено 24 марта 1945 года.
В октябре 1944 года был направлен на стрелково-тактические курсы комсостава «Выстрел», которые закончил в 1945 году. В 1949 окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе, в 1953 — адъюнктуру. C 1953 по 1978 работал в академии в качестве старшего преподавателя общей тактики. Кандидат военных наук, доцент. С апреля по сентябрь 1979 — заместитель начальника штаба 1-й гвардейской армии (г.Чернигов). С 1979 генерал-майор Б. С. Верижников — в запасе.
Жил в Москве. Умер 6 января 1999 года. Похоронен в Москве, на Ваганьковском кладбище.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, «За службу Родине в ВС СССР» 3-й степени, медалями, иностранным орденом.