Борис Соколов родился в 1920 году.
В 1936 году, окончив операторский факультет ВГИКа, был направлен на преддипломную практику на Московскую студию кинохроники, там же набирался первого операторского опыта. В июне 1941 года на киностудии шла подготовка к съемкам фильма о войне «Город в обороне». С группой фильма Борис выехал на экспедицию в город Коломну, где на 22 июня намечался первый съемочный день. Однако из-за войны от работы над фильмом пришлось отказаться.
В сентябре 1941 года с Центральной киностудией кинохроники эвакуировался через Куйбышев (Самара) в Алма-Ату, где три года снимал в Казахстане тыловую хронику (киностудия вскоре вновь вернулась в Москву).
В 1944 году был обратно возвращён в Москву, а оттуда уже в звании капитана направлен во фронтовую группу 1-го Белорусского фронта. Снимал бои в Польше, Германии, затем был направлен оператором на Забайкальский фронт. В мае 1945 года Соколову вместе с оператором Михаилом Посельским пришлось снимать берлинскую тюрьму, а также отдельно камеру пыток и казней гестапо. Заснятые Борисом кадры с гильотиной в камере пыток включил позднее в свой фильм «Иваново детство» режиссёр Андрей Тарковский, сделав её символом мученической смерти 12-летнего главного героя. Просматривая картину талантливого режиссёра, оператор обнаружил свои кадры.
Отснятые капитаном Соколовым кадры фронтовой кинохроники вошли во многие документальные фильмы периода Великой Отечественной войны, в частности, «Знамя победы над Берлином водружено», «Берлин», «Разгром Японии» и другие. Соколов был одним из тех, кто участвовал в съемках подписания акта о безоговорчной капитуляции Германии и Парада Победы в Москве 24 июня 1945 года. Был удостоен Сталинской премии и позднее, уже в 90-е годы, звания «Почётный кинематографист России».
В послевоенное время работал на Центральной студии документальных фильмов.
С 1949 по 1955 год работал на Литовской студии кинохроники.
С 1955 года — на «Мосфильме».
Живет в Москве.
1945 г.
документальный фильм «Из жизни кадра не выбросить» режиссёра Игоря Мордмиловича о Борисе Александровиче Соколове