В 1946, во время учёбы в Институте прикладного и декоративного искусства, был арестован по обвинению в «антисоветской пропаганде», отбыл восемь лет в лагерях (Ухта, Коми АССР), работал в одной бригаде со Львом Кропивницким, был на грани истощения («доходяга»). В 1954 вышел из лагеря, в 1956 реабилитирован.
В 1954—1957 жил в Тарусе, был близок к Аркадию Штейнбергу, затем обосновался в столице. Работал для Гослитиздата, создал иллюстрации к книгам Гёте, Э. Т. А. Гофмана, Х. К. Андерсена, братьев Гримм, М. Метерлинка, К. Г. Паустовского и других писателей. Один из крупнейших и наиболее авторитетных представителей «неофициального» искусства 1950—1980-х годов.
Главный труд Свешникова — огромный цикл лагерных рисунков 1950-1960-х годов (тушь, перо), позднее к нему прибавился графический цикл Альбом для рисования. Живописные работы художника (Полёт, 1958; Мастерская гробовщика, 1961, Поминки, 1965, Цветник тления, 1982; Посмертное свидание, 1989; У входа, 1990) тяготеют к своеобразному неоромантизму, чаще всего напоминают сны или видения иного мира.
Работы Свешникова хранятся в Музее русского искусства в Джерси-сити и Музее Циммерли университета Рутгерса (штат Нью-Джерси, США), а также в собрании общества «Мемориал» и других коллекциях. О художнике писали Андрей Синявский, И. Голомшток, Александр Глезер и др.