В 1941 году окончил среднюю школу и в июне призван в ряды Красной Армии. В августе-октябре был курсантом сапёрного батальона, расположенного в городе Чебаркуль Челябинской области.
В 1942 году оканчивает Одесское артиллерийское училище (переведённое к тому времени в город Сухой Лог Свердловской области) и в звании лейтенанта направляется на Юго-Западный фронт.
Военную службу Б. В. Кравцов проходил сначала в должности командира взвода топографической разведки 2-го дивизиона 822-го артиллерийского полка 300-й стрелковой дивизии. С июля 1942 года в той же должности воевал во 2-м дивизионе 846-го артиллерийского полка 278-й стрелковой дивизии. В 1943 году в звании гвардии старшего лейтенанта назначен на должность начальника разведки 2-го дивизиона 132-го гвардейского артиллерийского полка 60-й гвардейской стрелковой дивизии.
Б. В. Кравцов принимал участие в оборонительных боях на Харьковском направлении, в Сталинградской битве, окружении 6-й немецкой армии, в освобождении Павлограда (после чего дивизии было присвоено звание Павлоградской), а также в освобождении города Запорожье.
24 октября 1943 года начальник разведки дивизиона 132-го гвардейского артиллерийского полка гвардии старший лейтенант Б. В. Кравцов с группой разведчиков в составе стрелковых подразделений переправился через Днепр на остров Хортица в районе города Запорожье. Связавшись с дивизионом по радио, корректировал огонь артиллерии и обеспечил подавление выявленных огневых точек противника. Когда контратакующая группа противника окружила разведчиков, гвардии старший лейтенант Б. В. Кравцов вызвал огонь артиллерии на себя. Плацдарм был удержан и остров очищен от противника.
В декабре 1943 года гвардии старший лейтенант Б. В. Кравцов был тяжело ранен и отправлен в госпиталь.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 марта 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм гвардии старшему лейтенанту Борису Васильевичу Кравцову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 3636).
В 1944 году капитан Б. В. Кравцов уволен из армии по ранению. В 1945 году он поступил в Московскую юридическую школу, а по её окончании — во Всесоюзный юридический заочный институт.
Во время учёбы в институте работал судьёй в линейном суде Московско-Окского бассейна, а с 1950 года — в аппарате Министерства юстиции СССР в должности старшего инспектора-ревизора. С ноября 1955 года — инструктор отдела административных органов ЦК КПСС, тогда же избран секретарём парткома Министерства юстиции СССР.
28 января 1960 года Б. В. Кравцов назначен 1-м заместителем прокурора РСФСР, а в январе 1971 года — Прокурором РСФСР. Тогда же, в 1971 году избран депутатом Верховного Совета РСФСР 8-го созыва. Впоследствии избирался депутатом 9-го и 10-го созывов.
В апреле 1984 года избран депутатом Верховного Совета СССР 11-го созыва.
С 12 апреля 1984 года по 7 июня 1989 года Б. В. Кравцов занимал должность министра юстиции СССР.
В 1990 году Б. В. Кравцов избирается членом правления Клуба Героев Советского Союза, Героев России и полных кавалеров ордена Славы. С 1993 года является советником по вопросам законности в Гильдии российских адвокатов и вице-президентом Российской ассоциации Героев.
Б. В. Кравцов является автором и соавтором монографий «Советская прокуратура», «Правовая работа в народном хозяйстве». Имеет более 100 публикаций в журналах «Советское государственное право», «Социалистическая законность», «Советская юстиция», «Огонёк», «Ветеран», в газетах «Известия», «Правда (газета)», «Советская Россия», «Красная звезда».
Заслуженный юрист РСФСР.
Почётный сотрудник прокуратуры.
Действительный член Академии военно-исторических наук.
Почётный гражданин города Каменск-Шахтинский Ростовской области.