Родился 14 июня (27 июня по новому стилю) 1908 года в городе Ессентуки Терской области (ныне Ставропольский край). Семья проживала в селе Благодарном — административном центре Благодарненского уезда Ставропольской губернии. Отец — Василий Иванович Петровский — работал главным врачом земской больницы. В 1916 году семья переехала в Кисловодск, где отец стал работать в Доме отдыха ВЦИК «Красные Камни». Здесь его пациентами были видные политические деятели, среди которых — и Надежда Константиновна Крупская.
В 1916—1924 годах учился в школе 2-й ступени в городе Кисловодске. После окончания школы поступил на работу дезинфектором на дезинфекционную станцию Кисловодска. Здесь же окончил курсы бухгалтерии, стенографии, санитарные курсы и стал работать рассыльным в отделении профсоюза «Медсантруд», одновременно усиленно готовился к поступлению в университет.
В 1930 году окончил медицинский факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. По словам самого Петровского, годы занятий в университете укрепили в нём интерес к хирургии, показали необходимость разносторонней и глубокой подготовки в первую очередь как врача, а потом уже как «узкого» специалиста. Хорошо понимая, что хирургом можно стать только будучи разносторонне и фундаментально подготовленным врачом, Петровский основательно изучал клинические дисциплины, физиологию, многие часы проводил в анатомическом театре, осваивая и совершенствуя хирургическую технику, много дежурил в клинике и присутствовал на обходах старших коллег, выполнял первые самостоятельные операции. Окончив учёбу в университете около полутора лет работал хирургом в районной больнице города Подольска Московской области.
С 1932 года началась научная деятельность — в должности научного сотрудника Московского онкологического института (под руководством профессора П. А. Герцена) и Клиники общей хирургии при медицинском факультете МГУ. Способности исследователя и талант хирурга нашли благодатную почву — за несколько лет напряжённого труда Петровский выполнил исследования важных вопросов онкологии (лечение рака молочной железы), трансфузиологии (методика длительных массивных трансфузий и капельного переливания крови), а также шока. Первая его научная статья «К оценке отдаленных результатов хирургического лечения рака молочной железы» была опубликована в 1937 году в журнале «Хирургия».
В 1937 году Петровский защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата медицинских наук на тему «Капельное переливание крови и кровезамещающих жидкостей в онкологической практике». В переработанном виде она была издана в виде монографии в 1948 году. Интерес к переливанию крови он сохранил и в последующие годы, в частности, к методам введения крови в организм, влиянию трансфузий на функции организма. В 1938 году ему было присвоено звание старшего научного сотрудника (доцента). В 1939—1940 годах участвовал в качестве ведущего хирурга и заместителя начальника полевого госпиталя действующей армии, в военных событиях на Карельском перешейке.
С 1941 года Петровский доцент кафедры общей хирургии 2-го Московского медицинского института имени П. И. Пирогова. Во время Великой Отечественной войны 1941—1945 годов ведущий хирург эвакогоспиталей в действующей армии (1941—1944 годы). В 1944—1945 годах старший преподаватель кафедры факультетской хирургии Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова (Ленинград). В годы войны он проверил свои идеи о методах переливания крови, с успехом применив введение крови в сонную артерию, а затем непосредственно в грудную аорту.
Закончив войну сложившемся самостоятельным хирургом и исследователем, Петровский приступил в 1945 году к работе заместителем директора по науке Института хирургии Академии медицинских наук СССР.
Большой цикл исследований, интенсивно продолженный в послевоенные годы, Петровский оформил в докторскую диссертацию, которую защитил в 1947 году (тема «Хирургическое лечение огнестрельных ранений сосудов в условиях фронтового района»). В 1949 году диссертация была издана в виде монографии («Хирургическое лечение ранений сосудов»).
В 1948—1949 годах профессор кафедры общей хирургии 2-го Московского медицинского института имени Н. И. Пирогова, в 1949—1951 годах директор кафедры госпитальной хирургии и заведующий 3-й хирургической клиникой Будапештского университета, в 1951—1956 годах заведующий кафедрой факультетской хирургии 2-го Московского медицинского института имени Н. И. Пирогова. В 1953—1965 годах главный хирург 4-го Главного управления Министерства здравоохранения СССР.
В 1956 году ему были присвоены почётные звания «Заслуженный деятель науки РСФСР» и «Заслуженный деятель науки Азербайджанской ССР». В 1957 году избран действительным членом (академиком) АМН СССР (с 1991 — РАМН), в 1966 — Академии наук (АН) СССР (с 1991 — РАН).
С 1956 года заведующий кафедрой госпитальной хирургии 1-го Московского медицинского института имени И. М. Сеченова и одновременно (с 1963) директор Всесоюзного научно-исследовательского института клинической и экспериментальной хирургии.
Организатор (1963) и директор (1963—1988) Всесоюзного научного центра хирургии АМН СССР. С 1989 года — Почётный директор этого Центра.
В 1964 году выполнил первую успешную операцию протезирования митрального клапана сердца с механической (бесшовной) фиксацией, а в 1965 году впервые в СССР успешно осуществил пересадку почки человеку.
С сентября 1965 по декабрь 1980 года возглавлял Министерство здравоохранения СССР. За почти 16 лет работы на посту министра он принимал непосредственное участие в разработке и реализации всех важнейших документов, направленных на совершенствование народного здравоохранения. Диапазон его деятельности был исключительно широк, если учесть задачи, стоявшие перед органами здравоохранения. Это — обеспечение высокого качества медицинской помощи, действенности профилактических мер, способствующих повышению уровня здоровья и активного долголетия; обеспечение населения всеми видами специализированной помощи; создание крупных оснащенных современной техникой и укомплектованных высококвалифицированными специалистами многопрофильных и специализированных лечебно-профилактических учреждений; расширение функций и прав санитарного надзора, особенно в области санитарной охраны объектов окружающей среды; сближение уровней медицинской помощи городскому и сельскому населению; дальнейшее совершенствование охраны здоровья женщин и детей и рабочих промышленных предприятий. Значительное развитие в период руководства Министерством здравоохранения получило сотрудничество с другими странами. Осуществлялся систематический обмен опытом в области науки и практики здравоохранения с Францией, Финляндией, США, Великобританией, Швецией, Италией, Канадой, Японией и другими государствами на основе заключённых межправительственных соглашений и протоколов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 июня 1968 года за большие заслуги в развитии советской медицинской науки и здравоохранения, подготовку научных кадров и в связи с шестидесятилетием со дня рождения Петровскому Борису Васильевичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
Член ВКП(б)/КПСС с 1942 года. Делегат 22—24-го съездов КПСС; на 23-м и 24-м съездах избирался кандидатом в члены ЦК КПСС. Депутат Верховного Совета СССР (1962—1984).
Иностранные награды и звания: