Родился 7 декабря 1923 года в городе Шахты ныне Ростовской области в многодетной семье семье рабочего. Русский.
Окончил школу-семилетку № 11 и курсы счетных работников при Ростовском областном учебном комбинате. Работал счетоводом на шахте с 1940 года. Комсомолец.
В начале Великой Отечественной войны пришел в военкомат с заявлением о зачислении в Красную Армию, но в силу молодости призван не был. Продолжал работать на шахте. В июне 1942 года, с приближением в городу немецких войск, Борис Шопин примкнул к одной из воинских частей и участвовал в боях. После этого он был зачислен в Красную Армию и отправлен в одну из запасных частей для обучения.
В действующей армии на фронтах Великой Отечественной войны с октября 1942 года. Сражался на Северо-Кавказском, Воронежском, 1-м и 2-м Украинских фронтах. Участник обороны Кавказа, Курской битвы и битвы за Днепр, зимнего наступления на Правобережной Украине. Командир отделения рядовой Борис Шопин проявил отвагу и мужество при освобождении Правобережной Украины, во время Уманско-Ботошанской наступательной операции. Рядовой Шопин с группой автоматчиков на подручных средствах 13 марта 1944 года переправился через реку в районе села Завидовка Бершадского района Винницкой области Украинской ССР и принял участие в бою по захвату плацдарма.
18 марта 1944 года полк вышел к реке Днестр южнее города Могилев-Подольский, в районе села Субботовка. И там Борис Шопин вызвался идти в бой по захвату плацдарма с передовой группой. 26 марта 1944 года полк вышел к очередной водной преграде — реке Прут. И опять Борис Шопин шёл в передовом отряде. В этот день его группа форсировала Прут в районе села Кетраш Молдавской ССР (севернее города Яссы) и захватила плацдарм на его западном, уже румынском берегу. Вновь бойцы выдержали жестокий бой, удержав занятый рубеж. В ночь на 27 марта на захваченный ими плацдарм были переправлены стрелковый батальон и полковая артиллерия, прочно закрепив захваченные позиции.
30 мая 1944 года при налёте вражеской авиации сержант Борис Шопин погиб недалеко от того места, где он форсировал реку Прут, севернее города Яссы — в румынском селе Гарбан. Похоронен на месте гибели. После войны перезахоронен в братской могиле у памятника советским воинам в Яссах.