Борис Фёдорович Заволокин родился 26 июля 1939 года в Туле. Его отец, Фёдор Николаевич, был учителем истории и обществоведения в Первом техническом училище, а мать, Тамара Ивановна, домохозяйкой. Своё детство будущий актёр также провёл в Туле, где его семья жила на улице Каминского в доме № 15. Будучи ещё школьником, он стал участвовать в кружках школьной самодеятельности, а благодаря учительнице литературы, которая также заведовала школьным драматическим кружком, развел в себе большой интерес к театральной сцене. Всё же после окончания школы в 1957 году он не сразу занялся актёрской карьерой, а первоначально поступил в Техническое училище, где работал его отец, после окончания которого некоторое время работал токарем в Тульской оружейном заводе.
Попытать счастье в актёрской карьере Борис Фёдорович решил после открытия набора в театральную студию местного театра драмы. После успешного конкурсного отбора он был зачислен в студию, где его учителями были режиссёры Юрий Юровксий и Наталья Николаевна Паркалаб, а также Казимир Алексеевич Шишкин. Параллельно с обучение в студии студенты первого послевоенного курса студии, среди которых был и Заволокин, получила и первые небольшие роли в Тульском театре драмы.
После окончания обучения в 1960 году Борис Фёдорович стал одним из немногих, кто не остался работать в Туле, а решил попробовать себя на других театральных сценах страны. Первоначально он работал в Западной Украине в городе Мукачево, затем в Краснодарском государственном театре драмы, Астраханском драматическом театре, Самарском академическом театре драмы им. М.Горького, Иркутском областном драматическом театре им. Н. П. Охлопкова и Тверском областном драматическом театре. В 1979 году актёр был удостоен звания Заслуженный артист РСФСР, а в 1987 — Народный артист РСФСР.
В 1989 году Заволокин вернулся в Тулу, где вступил в труппе Тульского театра драмы. Наиболее примечательными в 1990-х годах у него были роли в постановках «Концерт Высоцкого в НИИ» (1989), «Уроки музыки» (1989), «Любовь и голуби» (1993), «Волки и овцы» (1995), «Королевских играх» (1996), «Отдам в хорошие руки добрую старую собаку» (1996), «Неугомонная бабушка, или Пока она умирала…» (1997), «Пигмалион» (1999). В 2000-х годах у актёра появилось больше серьёзных и драматических ролей в таких спектаклях, как «Вчера подкралось незаметно» (2003), Медовый месяц Белугина (2005), «Страсти по Никите» (2006), «Униженные и оскорблённые» (2007) и «Свои люди — сочтёмся» (2008).
В 2007 году на Фестивале имени Н. Х. Рыбакова в Тамбове, Борис Фёдорович Заволокин стал Лауреатом премии «Актёр России», за роль работника Митрича в спектакле «Страсти по Никите» по пьесе Льва Толстого «Власть тьмы».