Футбольную карьеру начал в 1997 году в клубе «Железник» из Белграда. До прихода в «Нефтчи» в 2005 году, играл в клубах «Остенде» (Бельгия), «Бове» (Франция), «Черноморец» (Одесса, Украина) и «Амкар» (Пермь, Россия).
Полноценный дебют Субашича в составе «Нефтчи» в еврокубках состоялся 3 августа 2005 года, в рамках ответного матча второго этапа Лиги чемпионов против бельгийского «Андерлехта», в котором «Нефтчи» одержал победу со счётом 1:0.
После трех лет удачного выступления за «Нефтчи» летом 2008 года переехал на родину и подписал контракт с Црвена Звезда. Но затем не смог попасть в основу и был отдан в аренду в Чанчунь Ятай. В Китае занял третье место и велнулся в Сербию. Но после этого снова поссорился с главным тренером, и ему не продлили контракт. После этого Бранимир снова вернулся в Азербайджан и подписал контракт с Габала (футбольный клуб) сроком в 1 год. За сезон провел 19встреч и забил 2 гола. В конце сезона не получил предложение о продления контракта и покинул клуб. В августе 2011 года подписал контракт с футболным клубом Хазар-Ленкорань.
Первую игру в составе сборной Азербайджана провёл 7 марта 2007 года в рамках Международного футбольного турнира «Кубок АЛМА-ТВ — 2007» в Шымкенте (Казахстан) против сборной Узбекистана, в котором сборная Азербайджана победила со счетом 1:0, благодаря единственному голу, забитому Бранимиром Субашичем на 55-ой минуте.
В общей сложности провёл в составе сборной Азербайджана 7 игр, в рамках официальных и международных встреч, три из которых оказались для команды победными. 21 мая 2007 года главный тренер сборной Азербайджана Шахин Диниев огласил новый список сборной на предстоящие 2 игры с командами Польши и Казахстана. Из натурализованных легионеров в состав попали лишь Чертоганов и Субашич.
В июня 2008 вызван в сборную новым главным тренером сб. Азербайджана Берти Фогтсом. Принял участие в товарищеском матче против сборной Андорры 04 июня 2008(1:2), в котором забил победный мяч после розыгрыша углового.19 ноября 2008 в товарищеском матче против сборной Албании(1:1) также отметился точным ударом. Летом 2009 года объявил о намерении прекратить выступления за сборную Азербайджана. Но в 2010 году после возврашение обьявил о том что хочет возвратится в сборную. После удачной игры в Габала в ноябре 2010 года он был призван в сборную Азербайджана на матч со сборной Черногории.