Свою футбольную карьеру Бранко начал в 1996 году в клубе «Могрен» из города Будва, который тогда выступал в низших югославских дивизионах. Отыграв два с половиной сезона за «Могрен» Бошкович в декабре 1998 года переходит в «Црвену Звезду». За четыре с половиной сезона проведенных в белградской команде Бранко дважды становился чемпионом Югославии (в сезоне 1999-00 и 2000-01) и трижды выигрывал Кубок Югославии (в 1999, 2000 и 2002 годах). Летом 2003 года Бошкович переходит в французский «ПСЖ». Всего за парижский клуб игрок провёл три сезона, причем последний отыграл в аренде за «Труа». В составе «ПСЖ» Бранко стал обладателем Кубка Франции в 2004 году. В январе 2007 года перешёл в венский «Рапид», в составе которого выигрывал чемпионат Австрии в сезоне 2007-08 и Суперкубок Австрии в 2008 году. 15 июня 2010 года подписал контракт с клубом из MLS «Ди Си Юнайтед». В новом клубе дебютировал 16 июля в матче против «Сиэтл Саундерс».
В сборной Югославии дебютировал 27 марта 2002 года в матче против Бразилии. Первый и единственный гол за сборную забил 11 июня 2003 года в матче против Азербайджана. Всего за сборную Сербии и Черногории Бошкович провёл 12 матчей, последний 16 ноября 2005 года против Южной Кореи. После провозглашения независимости Черногории Бранко стал выступать за новую сборную. В национальной сборной дебютировал 24 марта 2007 года в товарищеском матче против Венгрии. Первый гол за сборную Черногории Бошкович забил 26 марта 2008 года в матче против Норвегии.
Итого: 22 матчей / 1 гол; 8 побед, 7 ничьих, 7 поражений.
(откорректировано по состоянию на 12 октября 2010)