Б.Квятковский в 1973 году окончил Высшую офицерскую школу механизированных войск во Вроцлаве. В 1977—1980 годах обучался в Академии Генерального штаба Вооружённых сил Польши, в 1990—1992 годах — в Академии управления германского бундесвера в Гамбурге. Владел английским, немецким и русским языками.
После окончания офицерской школы был назначен на первую офицерскую должность командира взвода в 29-м танковом полку 11-й Дрезденской бронетанковой дивизии в Жагани. В 1974 году стал командиром роты. С 1980 по 1982 годы, после окончания академии, был начальником штаба 16-го воздушно-десантного батальона в Кракове, затем служил в штабе 6-й Поморской воздушно-десантной дивизии в Кракове (с 1986 года — воздушно-десантная бригада, а с 1989 года — в 6-я десантно-штурмовая бригада имени бригадного генерала Станислава Сосабовского) на должностях оперативного офицера (1982—1983), начальника оперативного отдела (1983—1986), начальника штаба (1986—1990).
В 1990 году назначен на должность начальника оперативного отдела в оперативном управлении Генерального штаба Вооружённых сил Польши в Варшаве. С 1993 года, после окончания обучения в Академии бундесвера, был начальником отдела разведки и радиоэлектронной борьбы в штабе Краковского военного округа в Кракове.
В 1995—1996 годах командовал польским военным контингентом в составе миротворческих сил ООН в зоне разделения войск на Голанских высотах (UNDOF). После этого занял должность командира 6-й десантно-штурмовой бригады имени бригадного генерала Станислава Сосабовского в Кракове.
В 2000 году был назначен начальником штаба воздушно-механизированного корпуса в Кракове, переформированного в 2002 году во 2-й механизированный корпус. В 2003 году стал заместителем командира Международной дивизии Центр-Юг в первой смене польского военного контингента в Ираке. После возвращения в Польшу в 2004 году был заместителем директора Учебного центра миротворческих мил НАТО (англ. Joint Force Training Center) в Быдгощи. В 2005 году снова находился в Ираке возглавляя Учебный центр НАТО (англ. NATO Training Mission — Iraq). Затем был заместителем командующего 2-го механизированного корпуса.
С 18 июля 2006 года по 24 января 2007 года командовал Международной дивизией Центр-Юг во время седьмой смены польского военного контингента в Ираке. 20 апреля 2007 был назначен руководителем Оперативного командования. 3 мая 2007 года президент Польши Лех Качиньский присвоил дивизионному генералу Б.Квятковскому звание генерала брони. В связи с реорганизацией 15 августа 2007 года стал оперативным командующим Вооружённых сил Польши.
Был женат с 1973 года, имел двух дочерей. Семья проживала в Кракове. Жена Кристина — выпускница Сельскохозяйственной академии. Дочери: Камила, 1976 года рождения, Эдита, 1983 года рождения. 5 мая 2010 года должен был уйти в отставку по возрасту.
Погиб 10 апреля 2010 года в авиакатастрофе президентского самолёта в Смоленске.
15 апреля 2010 года посмертно присвоено звание генерала.
Похоронен с воинскими почестями 24 апреля 2010 года в Кракове на Сальваторском кладбище (польск. Cmentarz Salwatorski)