Уроженец города Гамбурга. Из семьи таможенного чиновника. В 1919 году окончил реальную гимназию и добровольно вступил рядовым в 6-й пехотный полк рейхсфера, откуда в ноябре был отчислен, за неимением возможности получить офицерское звание.
В 1920—1923 годах — член организации «Союз Вервольфов». Член НСДАП (с марта 1931 года). Осенью 1932 года вступил в 28-й штандарт СС (Гамбург).
В 1933—1936 годах — начальник гамбургской тайной полиции.
В 1936-1939 годах — инспектор полиции безопасности Х военного округа (Гамбург).
В августе 1939 г был откомандирован в Вену, в штаб группировки «Зюд», для создания и руководства полицией, подготавливаемой к действию при оккупации Польши. Во время вторжения в Польшу возглавлял айнзатцгруппу I, приданную 14-й армии.
В сентябре 1939 года — начальник полиции безопасности при армейской группировке «Зюд» (Краков, с середины октября 1939 года — столица генерал-губернаторства). С октября 1939 года — уполномоченный полиции безопасности при Верховном командовании СС и полиции генерал-губернаторства Польши (возглавлял обергруппенфюрер СС Фридрих Крюгер).
С мая 1940 года по декабрь 1942 года — начальник 1-го Управления (Управление кадров) Главного управления имперской безопасности (РСХА).
С декабря 1942 года по февраль 1943 года — командир дивизиона противотанковой артиллерии 8-й кавалерийской дивизии СС (группа армии «Митте»; в мае-июне 1943 года участвовал в борьбе с партизанским движением (против Ковпака) в треугольнике между Припятью и Днепром). С середины августа 1943 года — командир 1-го (16-го) кавалерийского полка 8-й кавалерийской дивизии СС; затем, с середины сентября 1943 года до января 1944 года — командир той же дивизии. С 13 апреля 1944 года по 9 мая 1945 года — командир 19-ой Латышской добровольческой дивизии СС.
Арестован 28 декабря 1946 года (с 9 мая 1945 года — военнопленный).
Приговором Военного трибунала Московского округа от 18 февраля 1952 г. за преступления, предусмотренные ст. 2 параграф 1 п. «а», «в», «с» Закона № 10 Контрольного совета в Германии и ст. 1 Указа Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1943 года в соответствии со ст. 2 Указа Президиума Верховного Совета СССР ОТ 26 мая 1947 года «Об отказе смертной казни», осужден к лишению в ИТЛ сроком на 25 лет. Определением Военной коллегии Верховного суда СССР от 29 апреля 1952 года наказание в ИТЛ заменено на тюремное заключение.
На основании Указа Президиума Верховного Совета СССР от 28 сентября 1955 года Бруно Штреккенбах досрочно освобожден из мест заключения 10 октября 1955 года и передан правительству ГДР в г. Херлихаузен. По возвращении на родину обвинялся в преступлениях национал-социализма, но приговор не был вынесен в связи с его недееспособностью.