Бубакар Барри родился в бедной семье. Он начал играть в футбол на улицах Абиджана. Он начал карьеру, выступая за молодёжный состав клуба «Стелла д’Аджаме». В феврале 1994 года Барри пришёл в футбольную школу «МимоСифКом», созданной одним из лидеров футбола страны клубом «АСЕК Мимозас». Он прошёл несколько просмотров, но его туда не брали. Тогда Барри написал письма спортивному директору клуба Жану Марку Гиллу и менеджеру генералу де'Азеку. В результате, Барри был взят в команду на позицию вратаря. 1 августа 1995 года Бубакар был зачислен в «МимоСифКом». В 1999 году Барри подписал свой первый профессиональный контракт с «Мимозас», где провёл два сезона.
В ноябре 2001 года Барри перешёл во французский клуб «Ренн», подписав контракт на 3 года. «Ренн» наблюдал за ивуарийцем с 1997 года, когда он, в составе молодёжной команды, провёл удачный матч против «молодёжки» «Ренна» во время турне по Франции. За основу клуба Барри не выступал: в воротах стояли сильные вратари Бернар Лама и Петр Чех. Ивуариец провёл 23 матча за второй состав команды.
В июле 2003 года Барри перешёл в бельгийский клуб «Беверен». В первом же сезоне он стал основным вратарём команды, дошедшей до финала Кубка Бельгии и получившей место в Кубке УЕФА; также Барри стал вторым вратарём в чемпионате Бельгии по опросу СМИ. По окончании сезона руководство «Беверена» продлило контракт с Бубакаром на 3 года. Барри провёл эти три года в клубе. Этот период характеризовался для голкипера несколькими тяжёлыми травмами, из-за чего он пропустил часть игр.
В июле 2007 года Барри перешёл в «Локерен», подписав трёхлетний договор. В сезоне 2008/2009 Бубакар был признан лучшим голкипером чемпионата; на церемонии награждения он посвятил свой приз жертвам давки на стадионе в Абиджане, в которой погибли 22 человека.
В 2006 году Барри участвовал на чемпионате мира, где провёл 1 игру — 22 июня против Сербии и Черногории, где Кот-д’Ивуар победил 3:2. В 2010 году на чемпионате мира Бубакар приехал в качестве основного вратаря национальной команды.
Старший брат Бубакара, Тиерно Барри, также является футболистом. Он играл за сборную Гвинеи.