Родился близ города Воскресенска (ныне Истра) в семье сельского регента. Все дети в семье проявляли музыкальную одаренность, и пятеро братьев Чесноковых в разное время учились в московском Синодальном училище церковного пения (дипломированными регентами стали трое — Михаил, Павел и Александр).
В 1895 году Чесноков с отличием окончил Синодальное училище. Впоследствии брал уроки композиции у С. И. Танеева, Г. Э. Конюса и М. М. Ипполитова-Иванова. По окончании Синодального училища работал в разных московских училищах и школах: в 1895—1904 годах преподавал в Синодальном училище, а в 1901—1904 годах был помощником регента Синодального хора. В 1916—1917 годах дирижировал капеллой Русского хорового общества (на Кузнецком Мосту в доме Торлецкого — Захарьина).
В 1917 году Чесноков получил диплом Московской консерватории по классам композиции и дирижирования.
С 1900-х годов Чесноков получил большую известность как регент и автор духовной музыки. Долгое время руководил хором церкви Троицы на Грязях (на Покровке), с 1917 по 1928 год — хором церкви Василия Неокесарийского на Тверской; работал также с другими хорами, давал духовные концерты. Его произведения входили в репертуар Синодального хора и других крупных хоров.
После революции Павел Григорьевич руководил Государственной академической хоровой капеллой, был хормейстером Большого театра. С 1920 года до конца жизни преподавал дирижирование и хороведение в Московской консерватории. После 1928 года вынужден был оставить регентство и сочинение духовной музыки. В 1940 году опубликовал монументальный труд по хороведению «Хор и управление им».
Всего композитором создано около пятисот хоровых пьес: духовных сочинений и переложений традиционных распевов (среди них по несколько полных циклов литургии и всенощного бдения, панихида, циклы «Ко Пресвятей Владычице», «Во дни брани», «Ко Господу Богу»), обработок народных песен, хоров на стихи русских поэтов. Чесноков — один из наиболее видных представителей так называемого «нового направления» в русской духовной музыке; для него типичны, с одной стороны, великолепное владение хоровым письмом, отличное знание разных видов традиционного пения (что особенно проявляется в его переложениях распевов), а с другой — тяготение к большой эмоциональной открытости в выражении религиозного чувства, вплоть до прямого сближения с песенной или романсовой лирикой (особенно типично для пользующихся и ныне большой популярностью духовных сочинений для голоса соло с хором).