Окончил Военное училище в Софии (1903), юридический факультет Софийского университета (1932).
В 1912—1913, во время Балканских войн, был командиром роты в 22-м пехотном полку. Участник Первой мировой войны, в 1915—1918 командовал дружиной (батальоном) в этом же полку. В 1919 стал одним из основателей офицерской организации Военный союз, с 1922 входил в состав его руководства. В 1921 был уволен в запас в чине подполковника и поступил на работу в банк.
В 1923 принял активное участие в подготовке государственного переворота 9 июня, свергнувшего правительство Александра Стамболийского. После переворота вернулся на действительную службу и был назначен помощником начальника Военного училища. В 1926—1927 был командирован во Францию для обучения в военно-учебных заведениях. С 1927 был начальником Военного училища, но уже 5 сентября 1928 был уволен в запас из-за конфликта с военным министром Иваном Вылковым.
В 1928 министр Вылков распустил Военный союз, однако в 1929 оппозиционно настроенный по отношению к правительству Велчев стал членом вновь созданного тайного Военного союза, а в ноябре 1930 — секретарём его Центрального правления. Также он был близок к группе «Звено», возглавлявшейся бывшим министром Кимоном Георгиевым, как и Велчев, участником переворота 1923.
Велчев принял активное участие в государственном перевороте 19 мая 1934, в результате которого к власти пришло правительство Кимона Георгиева. В следующем году это правительство было оправлено в отставку царём Борисом III, а Велчев в феврале 1935 бы отстранён от работы в Военном союзе, а в июле того же года эмигрировал в Бельгию. 2 октября 1935 он нелегально вернулся в Болгарию с целью организации очередного заговора, но был арестован и предан военному суду, который 22 февраля 1936 вынес ему смертный приговор. В марте 1936 смертная казнь была заменена на пожизненное строгое тюремное заключение, а в сентябре 1940 Велчев был освобождён по амнистии.
В 1943 Велчев вошёл в состав Отечественного фронта (объединения антимонархических сил, в том числе коммунистов) как представитель группы «Звено».
Участник переворота 9 сентября 1944, приведшего к власти просоветские силы. Стал военным министром в новом правительстве Кимона Георгиева, занимал этот пост с 9 сентября 1944 по 25 сентября 1946. 11 сентября 1944 был произведён в генералы.
24 июля 1945 возглавлял болгарскую делегацию на Параде Победы в Москве. Был награждён советским полководческим орденом Суворова 1-й степени. В 1945—1946 являлся депутатом 26-го Обыкновенного Народного собрания. В 1946 был опубликован сборник его статей и речей. Отношения Велчева с советскими представителями и лидерами болгарских коммунистов носили сложный, постепенно ухудшавшийся характер — в отличие от Георгиева, он вступал с ними в конфликты. Велчев как военный министр делал ставку на кадровых офицеров болгарской армии и противодействовал продвижению на высокие посты членов компартии, которые ранее служили в Красной армии.
Будущий министр обороны Болгарии Пётр Панчевский, коммунист, ранее служивший в Красной армии, так оценивал в своих мемуарах деятельность Велчева:
В августе 1946 Велчев был обвинён в тайных связях с Югославией. 25 сентября он был снят с поста министра, а на следующий день уволен в запас.
В сентябре 1946 — октябре 1947 Велчев занимал пост посланника (полномочного министра) в Швейцарии. 25 октября 1947 он был отозван на родину, но отказался вернуться. Был лишён болгарского гражданства, умер в эмиграции.