Арансубия — воспитанник баскского футбола. Длительное играл в фарм-клубах и молодёжных командах «Атлетика Бильбао». 10 апреля 2001 года дебютировал в основной команде. Дебютный матч пришёлся на дерби с «Реал Сосьедадом» и завершился поражением «Атлетика» 1:2.
Ещё 2 сезона Арансубия был вторым голкипером клуба, после чего, в сезоне 2002—2003, занял место в основе. Следующие несколько лет Даниэль играл успешно и привлёк к себе внимание тренеров сборной Испании, однако в сезоне 2005—2006 с трудом выдерживал конкуренцию с Иньяки Лафуэнте, а в чемпионате 2007—2008 годов получил серьёзную травму. С приходом Горки Ирасиоса шансы Арансубии на попадание в основу стали ещё меньше.
В 2008 году Даниэль перешёл в «Депортиво» из Ла-Коруньи.
20 февраля 2011 года на последних минутах матча, когда «Депортиво» уступал с разницей в один мяч, Даниэль пошёл в штрафную соперника на подачу углового и забил гол головой, став первым вратарём, забившим в чемпионате Испании гол головой.
Арансубия играл за сборные Испании разных возрастов. В составе молодёжной сборной он выиграл чемпионат мира 1999 года, а в составе олимпийской — серебро Олимпиады в Сиднее.
Во взрослой сборной на счету Даниэля только один матч. 5 июня 2004 года голкипер принял участие в товарищеской игре с Андоррой.
Арансубия был одним из дублёров Икера Касильяса на чемпионате Европы 2004.
Молодёжная сборная Испании
Олимпийская сборная Испании