Родился в 1914 году в селе Софиевка, ныне посёлок городского типа Днепропетровской области Украины, в семье крестьянина. Украинец. Член ВКП(б) с 1940 года. Окончил начальную школу, работал в колхозе.
В Красной Армии с 1939 года. Участник советско-финляндской войны 1939—40 годов.
Старшина роты 257-го стрелкового полка (7-я стрелковая дивизия, 7-я армия, Северо-Западный фронт) младший командир Денис Заяц отличился в боях в 1940 году.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 11 апреля 1940 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» младшему командиру Зайцу Денису Архиповичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 398).
После «зимней войны» был начальником отряда службы охраны металлургического завода «Криворожсталь» (город Кривой Рог, Украина). С началом Великой Отечественной войны лейтенант Заяц сражался на Украине. Пал смертью храбрых в бою 30 сентября 1941 года в районе станции «Лозовая» Харьковской области. Похоронен в селе Натальино Красноградского района Харьковской области.
Награждён орденом Ленина, медалью.
Именем Героя названа улица на его родине — в посёлке городского типа Софиевка Днепропетровской области Украины.