Родился в 1913 году в Бруклине в семье еврейских иммигрантов из Российской империи Якова и Клары Каминских.. В возрасте 13 лет, бросив школу, он начал работать в так называемом «Борщевом поясе» (англ. Borscht Belt) — сети курортных отелей в Катскильских горах. В 1933 году он присоединился к танцорам Дэйву Харви и Кэтлин Янг. Во время своего премьерного выступления Кей потерял равновесие, чем сильно рассмешил публику. Неудача послужила отправной точкой для его будущего амплуа.
Актёрский дебют Кея состоялся в 1935 году в комедийном короткометражном фильме «Луна над Манхэттеном» (англ. Moon Over Manhattan). В 1941 году, после премьеры мюзикла «Леди в темноте», он стал настоящей звездой Бродвея. Первым полнометражным фильмом актёра стала комедия 1944 года «Вступайте в ряды армии». Вслед за этим последовали работы в таких картинах, как «Чудо-человек» (1945), «Тайная жизнь Уолтера Митти» (1947), «Ганс Христиан Андерсен» (1952), «Светлое Рождество» (1954) и др.
Кей был дважды награждён «Золотым глобусом» в номинации «лучшая мужскую роль в комедии или мюзикле» за работы в фильмах «На Ривьере» (1951) и «Я и полковник» (1959). C 1963 по 1967 год он вёл собственную программу The Danny Kaye Show. Его последним выступлением стала роль в ситкоме «Шоу Косби» (The Cosby Show) в эпизоде «Зубной врач» в 1986 году.
Кей неоднократно выступал в роли посла ЮНИСЕФ. Скончался он в 1987 году от сердечного приступа. У него осталась жена, Сильвия Файн, и дочь Дена.
У Дэнни три звезды на Голливудской Аллее Славы, за вклад в развитие киноиндустрии — 6563, за вклад в развитие радио — 6100, и за вклад в развитие музыкальной индустрии — 6800.