Родился в миссии Пойнт-Макли (ныне Рауккан) на берегу озера Александрина, округ (ныне национальный парк) Куронг, Южная Австралия. Дэвид Юнайпон был сыном Джеймса Юнайпона, первого аборигенного проповедника.
Юнайпон был обладателем 10 патентов, в том числе на машину для стрижки, однако не имел достаточно денег для широкого внедрения своих изобретений. В частности, он предложил проект вертолёта, основанный на принципе полёта австралийского бумеранга.
Как и его отец, Юнайпон был очень религиозен. Он считал, что духовность австралийских аборигенов имеет родство с христианской духовностью. По поручению Ассоциации друзей аборигенов (англ.)русск. он занимался сбором средств на благотворительные проекты. В ходе своих путешествий он общался со множеством интеллектуалов, заинтересованных в отстаивании прав аборигенов. Путешествия дали ему возможность прочесть ряд лекций о положении коренного населения Австралии и их культуре. В то же время в ходе путешествий ему нередко приходилось сталкиваться с проявлениями расизма, когда из-за цвета кожи ему отказывали в жилье и пище.
Юнайпон предложил правительству Южной Австралии отменить должность Верховного протектора аборигенов (англ.)русск. и учредить вместо неё совет ответственных лиц. Он был однажды арестован за агитацию о выделении из Австралии аборигенной территории в центральной и северной части страны.
Юнайпон был одним из первых опубликованных писателей аборигенного происхождения. Он написал многочисленные статьи для газет и журналов, в частности, для Sydney Daily Telegraph, в которых пересказывал традиционные мифы и сказания аборигенов и отстаивал их права.
Некоторые из аборигенных историй, обработанных Юнайпоном, опубликовал в 1930 г. под своим именем антрополог Уильям Рэмси Смит в книге «Мифы и легенды австралийских аборигенов» (Myths and Legends of the Australian Aboriginals). Позднее выяснилось, что Юнайпон, нуждавшийся в деньгах, продал ему свои рассказы. В 2006 г. эти мифы были опубликованы под именем Юнайпона и в оригинальной форме в книге «Легенды австралийских аборигенов» (Legendary Tales of the Australian Aborigines).
Также Юнайпон участвовал в расследовании и был свидетелем по депутатскому запросу Бликли о благосостоянии австралийских аборигенов. Он лоббировал перед правительством Австралии, чтобы последнее приняло на себя ответственность за благосостояние аборигенов, проживающих на территории Австралии.
В пожилом возрасте Юнайпон вернулся в родные места, где занимался попытками соорудить вечный двигатель. Он умер в больнице Таллем-Бенд 7 февраля 1967 г. и похоронен на кладбище миссии Рауккан (ранее Пойнт-Макли).
Танцевальный театр «Бангарра» исполняет представление-танец о жизни Юнайпона. В Австралии учреждена ежегодная Литературная премия имени Дэвида Юнайпона (David Unaipon Literary Award) за best of writing of the year by unpublished Aboriginal and Torres Strait Islander authors. В честь него назван Колледж аборигенного образования и исследований при Университете Южной Австралии.