Начал карьеру в «Ливерпуле» из Монтевидео в 1985 году. Уже в следующем году был куплен «Пеньяролем», с которым молодой игрок моментально стал чемпионом Уругвая. В следующем году Агирре стал настоящим идолом болельщиков чёрно-жёлтой команды: его гол в ворота «Америки Кали» принёс «Пеньяролю» пятую в истории победу в Кубке Либертадорес. На молодого игрока свалилась огромная слава, ему прочили будущее нового Франческоли.
В 1988 году Агирре купила итальянская «Фиорентина». Он сыграл 4 матча в Кубке Италии, в которых даже забил один гол и удостоился от болельщиков баннера: «Forza Aguirre!» Намечалось хорошая связка с Роберто Баджо. Однако тренер «Фиорентины» Эрикссон не был впечатлён уругвайцем и даже ни разу не выпустил его в матчах Серии A. После полугода в «Фиорентине» Агирре решил переехать в греческий «Олимпиакос».
В Греции Диего Агирре начал довольно неплохо, однако вскоре на него стала оказывать влияние довольно вольная жизнь в Афинах и он стал демонстрировать всё менее впечатляющую игру. Специалистам не нравилась и довольно хрупкое телосложение игрока, из-за которого он получил прозвище «мальчик». В конце концов произошёл инцидент с обнаруженным в крови Агирре допингом и он покинул «Олимпиакос».
Дальнейшая карьера Диего была ознаменована частыми сменами команд. За Агирре тянулась слава покорителя Кали, но он так и не смог перешагнуть рубеж «подающих надежды». Он выступал за великие команды («Интернасьонал», «Индепендьенте», «Сан-Паулу»), приглашавшие его, по всей видимости, как раз за счёт заработанного в «Пеньяроле» реноме, но нигде не оправдывал ожиданий. Хотя выступая в «Сан-Паулу» в 1991 году уругваец показывал вполне приличный футбол (3 гола в 8 матчах чемпионата, 2 гола в 4 матчах Кубка Бразилии), но всё равно был вынужден довольно скоро покинуть команду.
В 1995—1996 гг. выступал за ставший ему родным «Пеньяроль» и выиграл ещё 2 титула чемпиона Уругвая («Пеньяроль» тогда доминировал в чемпионате, выиграв подряд 5 турниров), но даже тут он не смог задержаться дольше пары сезонов.
Завершил карьеру игрока в 1999 году.
У Агирре, уже есть довольно приличный тренерский опыт. В 2003 году привёл «Пеньяроль» к победе в чемпионате Уругвая. В 2009 был назначен тренером молодёжной сборной Уругвая, однако скоро покинул её ради «Пеньяроля». Первая половина 2010 года была великолепной для его команды — «Пеньяроль» стартовал в Клаусуре сезона 2009/2010 с 12 побед и досрочно выиграл второй этап чемпионата страны. В 13 туре «Ауринегрос» сыграли вничью 0:0 с «Насьоналем», а затем выиграли ещё 2 игры. Таким образом, в Клаусуре «Пеньяроль» потерял лишь 2 очка, а в трёхматчевом противостоянии с победителем Апертуры тем же «Насьоналем» сумел вырвать итоговое чемпионство.