Родился 1 ноября 1931 в Тбилиси. Закончил музыкальную школу в Тбилиси у А. Д. Вирсаладзе (Анастасия Вирсаладзе приходится бабушкой Элисо Вирсаладзе); затем уехал продолжать обучение в Москву. Как вспоминает знаменитый органист Гарри Гродберг, «первое выступление Башкирова, приехавшего в 50-е годы из Тбилиси в Москву обучаться в консерватории, вызвало настоящую сенсацию». Обучался игре на фортепиано в Москве у Александра Гольденвейзера. В 1955 году начинающий пианист завоевал 2-е место на конкурсе им. Маргариты Лонг и Жака Тибо в Париже. В 1970 г. Башкиров получил от администрации города Цвиккау награду Премия Роберта Шумана.
Участвующий в различных ансамблях и дающий сольные концерты, Башкиров был всегда значительной фигурой в культурной жизни Москвы. Постоянное стремление к совершенствованию и искренняя любовь к пианизму — важная черта этого музыканта. Игру Башкирова всегда отличал сочный и чистый звук, богатство красок и стремление к адекватному выражению композиторского замысла. Основу его репертуара обычно составляла музыка романтического направления: Шуман, Шопен, Дебюсси, — хотя, впрочем, его репертуар был обширен: он включал в себя композиторов от И. С. Баха до Прокофьева и Шостаковича. Трио Шостаковича памяти И. И. Соллертинского — одна из лучших пластинок, выпущенных с записями Башкирова на фирме «Мелодия», которых было записано им в советское время множество.
C 1980—1988 вынужденный перерыв в международной концертной деятельности, связанный с запретом властей СССР на его выезды за рубеж.
«Карнавал» Шумана и его «Фантастические пьесы» Башкиров записал на EMI. Есть также его запись произведений Брамса на «Harmonia Mundi». Выступал с крупнейшими симфоническими оркестрами: Чикагским симфоническим, Оркестром Парижа, Лондонским Королевским и Берлинским филармоническим оркестрами.
Окончив аспирантуру, Дмитрий Башкиров стал ассистентом Александра Гольденвейзера. Преподавал в Московской консерватории с 1957 года (с 1977 года профессор). Его первым учеником была Нелли Акопян-Тамарина.
C 1991 года профессор Высшей музыкальной школы им. Королевы Софии («Escuela Superior de Musica Reina Sofia») в Мадриде, регулярно выступает с концертами и участвует в фортепианных конкурсах в качестве судьи. Постоянно проводит международные мастер-классы в Парижской Национальной консерватории, летней школе «Моцартеум» в Зальцбурге, Академии им. Я.Сибелиуса в Хельсинки, Доме музыки в Санкт-Петербурге.
Дочь Башкирова — Елена — также стала пианисткой; после разрыва с Гидоном Кремером вышла замуж за рано (фактически) овдовевшего Даниэля Баренбойма.
Заслуженный артист РСФСР (1968). Народный артист РСФСР (1990)