Д. А. Налбандян родился 2 (15) сентября 1906 года в Тифлисе (ныне Тбилиси). Учился в Тбилисской Академии Художеств у Е. Е. Лансере и Е. М. Татевосяна, после чего работал художником-мультипликатором в «Госкинопроме» и на Одесской киностудии. В 1931 переехал в Москву.
Получил известность прежде всего как мастер парадного портрета, хотя также работал в жанрах пейзажа и натюрморта. Создал портреты многих представителей советской партийной элиты (в том числе И. В. Сталина, Н. С. Хрущева, Л. И. Брежнева), за что в художественных кругах его называли «Первая кисть политбюро». Действительный член Академии художеств СССР. В 1978 году за групповой портрет деятелей армянской культуры «Вернатун» был награжден золотой медалью АХ СССР.
Умер 2 июля 1993 года в Москве от острой сердечной недостаточности. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Произведения Дмитрия Налбандяна хранятся в Государственной Третьяковской галерее, Музее современной истории России, Государственном Русском музее. Автопортрет художника находится в галерее Уффици (Флоренция).
В 1992 году Дмитрий Налбандян передал в дар городу Москве часть коллекции своих произведений, на базе которой Правительство Москвы постановило создать «Музей-мастерскую народного художника СССР Д. А. Налбандяна». Впоследствии эта коллекция пополнилась рисунками и живописными этюдами, которые подарила музею сестра художника – Маргарита Налбандян. В настоящее время этот музей-мастерская является структурным подразделением «Музейно-выставочного объединения «Столица».