Родился в семье офицера, Дмитрия Ивановича Минаева, поэта, переводчика «Слова о полку Игореве». В 1847—1851 годах обучался в Дворянском полку (курса не окончил).
В 1852 году сдал экзамены на первый классный чин и около трёх лет служил в Симбирской губернской казенной палате. В 1855 году переехал в Петербург, где устроился чиновником Министерства внутренних дел.
В 1857 году ушёл в отставку и занялся только литературной работой. В начале Минаев печатается во второстепенных петербургских журналах и газетах, выступая с лирическими, а затем и сатирическими стихотворениями и переводами. В 1859 году выпустил сборник литературных пародий «Перепевы. Стихотворения обличительного поэта». Сотрудничал в демократических журналах, в том числе в «Современнике», «Русском слове», «Искре», где развернулось дарование Минаева как поэта-сатирика.
В 1862 году несколько месяцев редактировал сатирический журнал «Гудок». Примыкая к некрасовской школе, в своих стихах занимал левые радикально-демократические позиции, выражал сочувствие угнетённой деревне, «обличал» (применительно к поэтам-сатирикам его круга «обличительство» и «обличительная литература» стали в критике того времени почти терминологическими) либералов, бюрократов, консервативную печать и цензуру; высмеивал и пародировал поэтов-сторонников «чистого искусства» (А. А. Фета, А. Н. Майкова, Н. Ф. Щербину, В. В. Крестовского и других). Приобрёл известность как «король рифмы», мастер эпиграммы, пародии, фельетона в стихах и особенно каламбура.
После каракозовского выстрела, в конце апреля 1866 года, Минаев был арестован за сотрудничество в журналах, «известных своим вредным социалистическим направлением, в особенности „Современнике“ и „Русском слове“», и просидел в Петропавловской крепости около четырёх месяцев.
В конце 1887 года Д. Д. Минаев с женой приезжает в Симбирск, где на Нижне-Солдатской улице, около реки Свияги, покупает дом с флигелями и садом. Скончался поэт 10 (22) июля 1889 года в Симбирске, после тяжёлой болезни.
21 июня 1899 года, на собранные по всенародной подписке средства в Симбирске был открыт памятник поэтам — отцу и сыну Минаевым. В этом же году улица Солдатская была переименована в Минаевскую (ныне ул. Минаева). В 1954 году, в связи со строительством Куйбышевского водохранилища и затоплением кладбища, прах Минаевых и памятник были перенесены на новое кладбище. Дом Д. Д. Минаева сохранился.