Родился 11 сентября 1907 года в городе Наро-Фоминске (ныне Московской области) в семье рабочего. Русский. Член ВКП(б) с 1931 года. Окончил 6 классов. В Красной Армии с 1931 года. В 1932 году окончил Орловскую бронетанковую школу, а в 1932 году — Курсы усовершенствования командного состава.
С октября 1936 года по январь 1937 года Д. Д. Погодин участвовал в национально-революционной войне испанского народа 1936—1939 годов, и отличился в боях под городом Посуэло де Аларкон. Танковая рота лейтенанта Погодина Д. Д. атаковала противника и подбила 9 вражеских танков. Не раз она помогала бойцам восстанавливать утраченные позиции.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1936 года за доблесть и мужество, проявленные в боях в Испании Погодину Дмитрию Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина, а после учреждения в 1939 году знака особого отличия героев ему была вручена медаль «Золотая Звезда» № 26.
После возвращения в 1937 году из Испании Погодин служил в должности командира танковой роты в Белорусском военном округе (с июля 1938 года — Белорусский Особый военный округ). Был избран членом Центрального Комитета Коммунистической партии (большевиков) Белоруссии.
В 1939 году в составе войск округа участвовал в боевых действиях против Польши.
В 1939 году Д. Д. Погодин окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе, был помощником начальника бронетанковых войск Ленинградского военного округа, командиром механизированного отряда округа и 1-го танкового полка 1-й танковой дивизии.
Участвовал в Советско-финляндской войне 1939—1940 годов.
Великую Отечественную войну встретил в должности командира 1-го танкового полка 1-ой танковой дивизии Ленинградского военного округа. С первых дней войны полк находился на кандалакшском направлении. В боях на кандалакшском направлении с 30 июня по 7 июля 1941 года полк Погодина потерял 71 танк БТ-7, из них 33 безвозвратно, оставленных сгоревшими на поле боя; 2 автомашины ЗИС-5, 1 бензоцистерну. Людские потери составили: 23 убито, 58 ранено, 30 пропали без вести. 17 июля полк, погрузившись в эшелоны, отправился в район Войсковиц-Красногвардейска (Гатчины) под Ленинград.
Здесь под Молосковицами 11 августа 1941 года развернулось грандиозное встречное танковое сражение. В районе деревень Морозово и Волпи сошлись в бою 1-я Краснознаменная танковая дивизия и 1-я немецкая танковая дивизия. Но силы были неравны, на помощь немецкой дивизии подошли ещё две немецкие танковые дивизии из группы Гепнера. В начале сражения в 1-й советской танковой дивизии было 108 танков, и почти все они были уничтожены.
Находившийся в Красногвардейске (ныне Гатчине) штаб 1-го танкового полка 1-ой танковой дивизии получил 19 августа 1941 пять новых тяжёлых танков КВ с Кировского завода. Сформированная из них рота под командованием старшего лейтенанта З. Г. Колобанова по приказу полковника Д. Д. Погодина встала в засаду в районе совхоза Войсковицы и станции Илькино. 20 августа 1941 года эта рота уничтожила из засады 43 германских танка трёх танковых дивизий, проводивших в этот день смену позиций в ходе наступления на Ленинград и окружения Лужской группировки советских войск. При этом, командир орудия (наводчик) ст. сержант Усов А. М. из экипажа танка командира роты З. Г. Колобанова снайперски расстрелял колонну из 22 немецких лёгких танков.
Командир полка полковник Д. Д. Погодин представил весь экипаж танка к званию Героя Советского Союза, но согласно резолюции нового командующего Ленинградским фронтом Хозина орден Ленина получил командир орудия — ст.сержант А. М. Усов, медаль «За Отвагу» — красноармеец Кисельков, а остальные члены экипажа — ордена «Красного Знамени».
Позднее на фронтах Великой Отечественной войны полковник Погодин Д. Д. занимал должности заместителя командира 123-й танковой бригады, заместителя по танковым частям командующего 30-й армией генерал-лейтенанта Лелюшенко, заместителя начальника автобронетанковых войск Калининского фронта и заместителя командира 1-го механизированного корпуса 53-й армии Степного фронта.
Герой Советского Союза, генерал-майор танковых войск Д. Д. Погодин погиб в бою у села Перекоп под Харьковом 13 сентября 1943 года, лично участвуя в танковой атаке в решающий момент сражения. Обожжёное тело убитого командира на руках вынес из боя механик-водитель его сгоревшего танка старшина А. А. Горелышев. Дмитрий Дмитриевич Погодин так и не узнал о присвоении ему звания генерал-майора танковых войск и о награждении его орденом Красного Знамени.
Был похоронен по месту жительства эвакуированной семьи — городе Владимире на центральной площади Свободы (Соборной), но позже, в 1946 году по просьбе матери, прах был перезахоронен на городском кладбище.
На месте гибели Д. Д. Погодина в селе Перекоп Валковского района Харьковской области Украины установлена мемориальная доска. Именем Героя названа одна из улиц города Владимира. Там же установлен барельеф Д. Д. Погодина на стелле героев-владимирцев у мемориала «Вечный Огонь» на Площади Победы. Почтой СССР был выпущен мемориальный конверт с портретом Героя Советского Союза Погодина Д. Д.