Родился 15 июля 1981 года в Караганде. Карьеру игрока начал в возрасте семи лет в качестве первого вратаря в местном хоккейном клубе «Автомобилист». Двумя годами позже, в 1992 году, с семьёй переехал в Германию (мать Дмитрия немка по национальности).
В 16 лет дебютировал в юниорской сборной Германии. В 19 лет Дмитрия пригласили в сильнейший немецкий клуб «Crocodiles Hamburg». Именно из этой команды Дмитрий и попал в национальную сборную Германии и постоянно выступал на Играх Центральной Европы. А вот дебюта на чемпионате Мира Кочневу пришлось ждать вплоть до 2007 года. К тому времени он уже перешёл в «Iserlohn Roosters» и участвовал в Матче всех звёзд Немецкой хоккейной лиги (второй подобный опыт у голкипера случился годом позже, в 2008 году). Затем Дмитрий Кочнев неизменно привлекался на чемпионаты мира — и в 2008 в Канаде, где он сыграл против сборной хозяев первенства; а в 2009 остался без игровой практики. Провёл более тридцати матчей за сборную Германии, в том числе играл на чемпионате мира по хоккею с шайбой 2010, прошедшем в Германии.
Летом 2008 года подписал контракт с московским «Спартаком», а два года спустя перешёл в «Локомотив», вместе с которым стал бронзовым призёром чемпионата. Через год перешёл в подмосковный «Атлант». В КХЛ Дмитрий Кочнев легионером не считается, а следовательно не подпадает под лимит на иностранцев, так как имеет российский паспорт.