Родился 7 мая 1901 года в городе Житомире. Высшее художественное образование получил в Академии пластических искусств в Киеве. Работал карикатуристом в журналах и газетах сначала в Киеве, затем в Москве, художником в цехе художественной мультипликации на кинофабриках «Союзкино», «Межрабпомфильм». Дальнейшая творческая деятельность Бабиченко связана с киностудией «Союзмультфильм». Там он становится одним из ведущих режиссёров студии.
Работая в разных жанрах, Дмитрий Бабиченко прославился прежде всего как режиссёр-постановщик фильмов сказок. В 1950-е годы им созданы яркие, незабываемые произведения, вошедшие в историю отечественной анимации. В 1956—1957 годах отмечены призами Всесоюзного кинофестиваля его фильмы «Миллион в мешке» и «Привет друзьям!». Мультфильм «Маленький Шего», получивший диплом на Международном кинофестивале в Венеции. Там же, в 1958 году приз получает мультфильм «Первая скрипка».
Особенно плодотворным было сотрудничество Бабиченко с Ивановым-Вано. В 1959 году они сняли прекрасный фильм «Приключения Буратино» по сказке А. Н. Толстого «Золотой ключик», вошедший в классику отечественной мультипликации. Фильм был отмечен Первой премией на II ВКФ в Минске (1960).
В 1969—1975 годах Дмитрий Бабиченко — режиссёр и художественный руководитель мультипликационной студии при Творческом объединении «Экран».
Умер 30 июля 1991 года.