Воспитанник харьковского «Локомотива». В 1952—1954 годах выступал за молодёжный состав харьковчан, в 1955 за команду мастеров. В 1956 году выступал за клуб ОДО Киев. В 1956—1957 играл за ОДО Свердловск. В 1958 году перешёл в московский ЦСКА. За армейцев провёл 311 матчей, забил 1 гол. Багрич первый из футболистов ЦСКА достиг отметки 300 матчей за армейский клуб. По количеству матчей за ЦСКА (311) занимает третье место после Владимира Федотова (382) и Владимира Поликарпова (341). После окончания карьеры футболиста до самой смерти работал на кафедре физкультуры Военно-политической академии имени Ленина преподавателем физического воспитания. Умер 30 августа 1980 года в Москве от рака головного мозга. Похоронен на Митинском кладбище.