Отец - педагог, мать - инженер. Окончил Институт иностранных языков. Работал ночным сторожем, рабочим в геологических и археологических экспедициях, тренером по самбо, жонглером, преподавателем английского языка, читал лекции о русской литературе. Переводил прозу Исаака Башевиса Зингера, Брюса Чатвина, Артура Миллера, Майкла Каннингема, стихи Александра Поупа, Андре Шенье, Томаса Харди, Хаима-Нахмана Бялика, Карла Кролова и других английских, американских, французских, немецких классических и современных поэтов.
Был близок к группе Московское время. Первые поэтические публикации состоялись в начале 1980-х годов в самиздате и тамиздате. Начиная с 1987 публиковался в журналах Новый мир, Континент, Знамя, Октябрь, Иностранная литература, Студия, Постскриптум, Новая Россия, Новая Юность и др.
По оценке Григория Дашевского, Дмитрий Веденяпин — один из самых глубоких современных поэтов:
В 2010 г. голосованием московских поэтов избран лауреатом премии «Московский счёт» (за книгу стихов и прозы «Между шкафом и небом»).
Дмитрий Веденяпин является кандидатом в мастера спорта по самбо, выигрывал первенство спортобщества динамо среди юниоров.