В большой семье Днишевых Алибек был младшим, четвёртым сыном. Его мать — татарка Камиля Абдуллина была родной сестрой известных казахстанских оперных певцов, братьев — близнецов, народных артистов СССР и Казахской ССР Ришата и Муслима Абдуллиных. У них дома всегда была музыка, всегда пели песни.
После школы Алибека отдали в Алма-Атинское музыкальное училище им. Чайковского, затем он окончил Алма-Атинскую государственную консерваторию им. Курмангазы по классу вокала у проф. Надии Шариповой. На третьем курсе Днишев впервые получил первую премию на Всесоюзном конкурсе вокалистов имени Глинки за исполнение романса Глинки на стихи Пушкина «Я помню чудное мгновенье».
С 1976 года — солист Казахской государственной филармонии им. Джамбула,
с 1978 года — солист Казахского государственного академического театра оперы и балета имени Абая.
В 1997 году основал и возглавил «Театр-академию вокала Алибека Днишева».
Исполнительская манера Днишева отличается удивительной тонкостью, красотой голоса, особым лиризмом. Исполняет арии Ленского («Евгений Онегин» П. И. Чайковского), Владимира («Князь Игорь А.Бородина», Айдара («Абай А. Жубанова и Л. Хамиди») и др.
В репертуаре певца — камерные циклы, народные песни и романсы, партии в операх «Дударай» Е.Брусиловского, «Песнь о целине» Е.Рахмадиева, «Майская ночь» Н.Римского — Корсакова. Выступал с камерными программами в крупнейших залах Европы, принимал участие в спектаклях Большого театра в Москве.
Наряду с академической музыкой Днишев исполняет казахские народные песни и песни советских композиторов — им, в частности, записаны известные песни Матвея Блантера «В лесу прифронтовом», «Лучше нету того цвету», «Грустные ивы», «Незабытая песня», «Колыбельная», «В городском саду», «Московские окна», «Песенка влюбленного» и др.
Исполняет А. Днишев и песни на итальянском и испанском языках.
1975 — Лауреат Всесоюзного конкурса вокалистов им. М. И. Глинки, Тбилиси, Грузия.
1977 — Лауреат Международного конкурса имени Роберта Шумана в Цвиккау, ГДР, (2-я премия).
1979 — Лауреат Международного конкурса вокалистов им. Эйтора Вилья Лобоса в Рио-де-Жанейро, Бразилия
1979 — Премия Ленинского комсомола Казахской ССР — за высокое исполнительское мастерство
1979 — Народный артист Казахской ССР
1986 — Народный артист СССР
1996 — Орден Парасат (Орден Благордства) Республики Казахстан
2003 — Лауреат независимой премии меценатов Казахстана Платиновый Тарлан в категории «Музыка».
2008 — Юбилейная медаль «10 жыл Астана»
2011 - Орден Отан