Родился в еврейской семье бизнесмена Уильяма Глазера и его жены Лены в г. Кливленд, штат Огайо. После окончания общей школы в Кливленде, поступил в Технологический Институт Кейза. После получения в 1946 г. степени бакалавра, преподавал в течение семестра в том же институте. Осенью 1946 г. поступил в Калифорнийский технологический институт, в котором в 1950 г. защитил диссертацию. Уже в 1949 г. получил место доцента в Университете Мичигана, а в 1957 г. стал там профессором. В 1959 г. перешёл в Калифорнийский университет в Беркли в качестве профессора физики. В 1964 г. стал также профессором молекулярной биологии. С 1989 года по настоящее время является профессором физики и нейробиологии.
В 1960 г. Глазер женился на Руфь Бонни Томсон. Двое детей — дочь и сын. Дочь Луиза Феррис Андерсон стала детским врачом. Сын Уильям Томсон Глазер — управленец в компьютерной фирме.
В ранние годы карьеры исследования Глазера лежали в области элементарных частиц, с акцентом в экспериментальную технику. Он сконструировал множество улучшенных камер Вильсона и счётчиков искр. Кроме того Глазер развивал идеи, которые привели в 1952 г. к изобретению пузырьковой камеры. В последующие годы он разработал несколько типов пузырьковых камер для экспериментов в области высоких энергий и сам экспериментировал на космотроне в брукхэвенской национальной лаборатории в Нью-Йорке и беватроне в радиационной лаборатории им. Лоуренса в Калифорнии. В 1960 г. получил Нобелевскую премию по физике.
В 1962 г. Глазер обратился в молекулярной биологии, которая интересовала его со времени обучения в Калтехе. Осознание того факта, что ДНК и РНК микроорганизмов построены таким же образом, как и у высокоразвитых существ, заложило основы современных биотехнологий. Глазер, вместе со своими студентами, занялся исследованием механизмов контроля синтеза ДНК в бактериях. При помощи мутированной яйцеклетки китайского хомяка он смог показать ответственность определённых генов за повышенную чувствительность к ультрафиолетовому излучению, что могло привести к перерождению клеток в раковые клетки. Семь генов, ответственных за процесс, есть также у человека и приводят к форме рака xeroderma pigmentosum.
В 1970 г. Глазер решил, что хотя молекулярная биология и предоставляет очень подробные знания, эти знания с трудом могут быть применены в медицине или каких-либо других областях. Поэтому Глазер, вместе с двумя друзьями, основал первую фирму по биотехнологиям и, тем самым, целое направление промышленности, которое оказало большое влияние на медицину и сельское хозяйство.
Вскоре после этого он опять обратился к другой области — нейробиологии, особенно к зрительной системе человека.