Родился 11 (24) декабря 1903 года в селе Александровка (ныне Богодуховского района Харьковской области Украины) в семье агронома. Из-за Гражданской войны не смог получить начальное образование, в школу не ходил. Тем не менее, в 1919 году поступил в Технологический институт в Харькове. Проучился 2 года (с 1923 по 1925) на химическом факультете, затем, резко сменил специальность и закончил обучение на факультете архитектуры у А. Н. Бекетова (с 1925 по 1930).
Алексей Николаевич был увлечён конструктивизмом, испытывал творческое влияние братьев Весниных.
В 1933—1939 годы был архитектором в мастерской И. А. Фомина. Принимал участие в архитектурных конкурсах Дворца Советов (1931—1932), Дворца Радио (1933), Института Маркса-Энгельса-Ленина.
Спроектировал ряд станций Московского метрополитена — «Дворец Советов» (ныне «Кропоткинская», совместно с Я. Г. Лихтенбергом, 1935, «Площадь Революции» (1938), «Маяковская» (1938), «Завод им. Сталина» (ныне «Автозаводская», 1943, «Новослободская» (1952), железнодорожные вокзалы в Днепропетровске (1951), Симферополе (1951), Сочи (1952) и в Брянске (1952), создал крупные градостроительные ансамбли в Москве — с высотным зданием Министерства транспортного строительства у Красных ворот (1947—1953) (с Б. С. Мезенцевым) и универмагом «Детский мир» на Лубянской площади (1953—1957).
Главный архитектор Метропроекта и Метростроя (1941—1943), а также Центральной архитектурной мастерской Наркомата (потом Министерства) путей сообщения СССР (с 1943 года). В 1947—1974 годы преподавал в Московском архитектурном институте.
А. Н. Душкин скончался 8 октября 1977 года. Похоронен на Армянском кладбище в Москве.
Внучка — архитектор, профессор МАРХИ Н. О. Душкина.