Родился в семье горско-еврейский композитора Аарона Авшаломова, обосновавшегося в Китае вместе со своей женой-американкой. Получил первые уроки музыки у отца. По окончании школы четыре года работал на фабрике, затем помогал отцу при постановке его балета в Шанхае, короткое время служил в американском военном корпусе в Китае и в 1937 году окончательно перебрался в США (с 1944 года — американский гражданин). Учился в Лос-Анджелесе у Эрнста Тоха, затем в Портленде у Жака Гершковича и наконец в Истменовской школе музыки у Бернарда Роджерса, занимался также под руководством Аарона Копленда.
В 1946—1954 гг. преподавал в Колумбийском университете. С университетским оркестром осуществил американскую премьеру Мессы № 1 Антона Брукнера. В 1954—1994 гг. возглавлял Портлендский юношеский филармонический оркестр, сменив на этом посту своего учителя Гершковича и дав в общей сложности 640 концертов. Заслуги Авшаломова-дирижёра отметила Премия Дитсона (1965) — старейшая американская премия для дирижёров.
В творческом наследии Авшаломова наиболее значительное место занимают оркестровые сочинения, в том числе симфония «Орегон» к 100-летию штата Орегон. Ему также принадлежат камерные и хоровые сочинения.