Учился в Салезианской школе в Чертси (Суррей), хотя его семья не была католической. В конце 1950-х начал работать журналистом, затем — в отделе документальных фильмов на Би-би-си.
Первую самостоятельную постановку Бурмену предложил продюсер Дэвид Дойч. Фильмом «Поймай нас, если сможешь» (1965) о группе «The Dave Clark Five» Дойч рассчитывал повторить успех вышедшего годом раньше фильма «Вечер трудного дня» Ричарда Лестера. Достичь этого не удалось, однако вскоре Ли Марвин пригласил Бурмена в Голливуд в качестве постановщика фильма «Выстрел в упор» (1967), имевшего успех и принёсшего Бурмену известность. Настоящий успех пришёл к нему с фильмом «Избавление» (1972) по роману Джеймса Дикки. В 1987 снял фильм «Надежда и слава» — рассказ о своём детстве в Лондоне во время блица.