Бриджетт родился в городке Форсбрук, в графстве Стаффордшир и футбольную карьеру начал в местных командах «Бурслем Парк» и «Трентхэм». В октябре 1902 года он подписал профессиональный контракт со «Сток Сити». Однако в «Стоке» Артур надолго не задержался и отыграв 7 матчей (в которых не забил ни одного мяча) форвард перешёл в «Сандерленд».
В «Сандерленде» Бриджетт дебютирвал 17 января 1903 года в домашнем матче с «Шеффилд Юнайтед», закончившися вничью 0:0. Первый гол забил уже в следующей встрече с «Гримсби Таун». Бриджетт сразу же стал одним из основных нападающих команды. В каждом сезоне он проводил на поле не менее 30 матчей и отличался хорошей результативнстью, снизившейся лишь под конец карьеры в клубе. Наиболее удачными для Артура были сезоны 1905/06 и 1906/07, когда он становился лучшим бомбардиром команды, забив 17 и 25 голов соответственно (сразу после этих успехов он стал вторым бомбардиром после Джорджа Холли, забив 15 голов).
Всего за «Сандерленд» Артур сыграл 347 матчей, в которых забил 116 голов (3 из них с пенальти; в том числе 12 дублей (самый памятный 5 декабря 1908 года в знаменитом матче с «Ньюкасл Юнайтед», закончившимся победой «Сандерленда» 1:9)) — восьмой показатель за всю историю клуба. Бриджетт был не только нападающим, но и хорошим распасовщиком (с его фланговых навесов неединожды забивал Джордж Холли) и капитаном команды. Кроме того Артур был очень религиозным человеком, и никогда не выходил на поле в Рождество и Великую пятницу.
После ухода из «Сандерленда», Артур стал тренером и до войны потренировал такие клубы как «Саут Шилдс» «Норт Шилдс». После перерыва в карьере игрока в 11 лет Бриджетт возвращается в большой футбол в сезоне 1923/24 в возрасте 41 года и становится игроком клуба «Порт Вейл». В первом же своём матче за новый клуб, проведя на поле всего 90 секунд он забивает гол, который приносит команде победу (10 ноября 1923 года. «Порт Вейл» — «Клэптон Ориент» 1:0). Однако уже в феврале 1924 года нападающий потерял место в составе «Порт Вейл» и конец сезона доиграл за «Сандбач Рамблерс» после чего окончательно ушёл из футбола.
Первый вызов в сборную Англии Бриджетт получил 1 апреля 1905 года на домашний матч с Шотландией. Голом за сборную Артуру удалось отметиться только через три года в третьем своем матче (он забил на 85 минуте последний гол англичан в ворота Австрии). Всего Бриджетт за главную команду страны провёл 11 матчей, в которых забил три гола. Все вызовы он получил выступая за «Сандерленд», и поэтому показателю занимает второе место за всю историю клуба после Дэвида Уотсона.
Бронзовый призёр чемпионата Англии (3) — 1903, 1909, 1911