Джозеф происходит из рода, корни которого уходят в католическую восточную Европу. Он относит свои корни к белорусским и польским прародителям, но, возможно, он происходит из рода, принадлежащего к Речи Посполитой — старинному литовско-польско-белорусскому государству с происхождением из русинов. Его дед и бабка бежали в США от революции 1917 года, его отец родился в США, но жил в Германии, Польше и России. Возможно, истинное написание его фамилии — Str?czy?ski (прим. произн. «Стрончыньски») — с польскими диакритиками, так как это известная и часто встречающаяся польская фамилия.
Начав работать на телевидении в 1983 году, Стражински принял участие в работе над множеством анимационных сериалов, а затем и в художественных сериалах, быстро продвинувшись по карьерной лестнице от автора сценариев до исполнительного продюсера. Кульминацией роста Джозефа стал сериал «Вавилон-5», завоевавший десятки призов и наград, в том числе две «Эмми» и «Хьюго».
Стражински является автором 92 из 110 эпизодов «Вавилона-5», а также пилотного фильма к сериалу и пяти полнометражных фильмов — спин-оффов. Сериал отличается от других «космических опер» распределением сюжета на протяжении пяти лет, сложностью характеров каждого персонажа, высоким уровнем реализма персонажей, их поступков и окружающей их вселенной. Впервые в сериале были применены компьютерные спецэффекты такого уровня внедрения и качества. Стражински также является создателем и исполнительным продюсером 13-серийного сиквела/спин-оффа «Вавилона-5» — «Крестового похода», для которого он написал 10 из 13 эпизодов.
Хронологически работу Стражински можно представить в таком списке:
Также Стражински был вовлечен к созданию «Spiral Zone», однако в титрах невозможно увидеть его имя, так как он заменил их на псевдоним Fettes Grey. Перу Стражински принадлежит один эпизод сериала «CBS Story Break».
В 2005 году Стражински начал публикации своих сценариев к сериалу «Вавилон-5»