Родился 2 января (15 января по новому стилю) 1915 года в селе Кручёная Балка Медвежинского уезда Ставропольского края, ныне Сальского района Ростовской области в семье рабочего. Русский.
В конце 1929 года отца Ефима — Ивана Васильевича — перевели работать в с. Хлеборобное Целинского района (тогда Западно-Коннозаводческого района) Ростовской области. Переехали всей семьей. Работал в колхозе имени Будённого.
В возрасте двадцати лет он уезжает из Хлеборобного для учебы в кооперативной школе. Затем с отличием в 1938 году окончил мукомольный техникум в городе Новочеркасск Ростовской области. Работал на элеваторе.
В Красной Армии с 1939 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1939 года. В 1941 году окончил военно-политическое училище. На фронтах Великой Отечественной войны с июля 1941 года. Участвовал в обороне Москвы, в Сталинградской битве, в освобождении Донбасса (в том числе и города Дзержинска), Крыма, города Севастополя и Прибалтики.
Командир стрелкового полка подполковник Ефим Мандрыкин особо отличился в боях за город Мелитополь Запорожской области Украины. В период с 14 по 16 октября 1943 года вверенный подполковнику Мандрыкину Е.И. стрелковый полк прикрывал левый фланг стрелкового корпуса, отражая контратаки противника. Преодолевая упорное вражеское сопротивление, в уличных боях в Мелитополе воины полка под командованием Е. И. Мандрыкина нанесли гитлеровцам значительный урон в живой силе и технике. Командир полка был дважды ранен, но не покинул поле боя.
После войны Мандрыкин продолжал службу в армии. Более 10 лет служил военным комиссаром Орловской области. Окончил курсы усовершенствования офицерского состава при Военной академии имени М. В. Фрунзе, а в 1953 году — Ростовский государственный университет.
С 1970 года полковник Мандрыкин Е.И. находился в отставке. Жил в Москве, где и скончался 11 февраля 1998 года. Похоронен на Митинском кладбище в Москве (участок 24).