Родился в крестьянской семье. По национальности украинец. Работать начал в 1912 шахтёром в Донбассе. Член КПСС с 1918.
В 1918—1928 годах в Красной Армии, участник Гражданской войны 1918—1920 годов. Окончил Московский институт цветных металлов и золота в 1933. В 1933—1940-х работал на заводе «Электроцинк» в Орджоникидзе инженером, начальником цеха, главным инженером, директором завода.
В 1940—1941 годах назначен директором Днепровского алюминиевого завода в Запорожье, в 1941—1945 — Уральского алюминиевого завода в Каменске-Уральском.
В 1945—1946 годах работал заместителем наркома цветной металлургии СССР.
В 1946—1953 занимал пост заместителя начальника Первого главного управления при Совете Министров СССР. Одновременно в 1947—1949 годах был директором комбината № 817.
1949 — Сталинская премия. Удостоен звания Герой Социалистического Труда (вместе с Ванниковым, Курчатовым и Харитоном).
1951 — Сталинская премия.
В 1953—1957 годах был первым заместителем министра среднего машиностроения СССР.
1954 — дважды Герой Социалистического Труда.
В 1957—1963 годах и позже — с 1965 года был министром среднего машиностроения СССР.
В августе 1957 года принял решение о строительстве Сибирской АЭС.
В 1958—1983 депутат Верховного Совета СССР.
В 1962 году Славский всячески поддерживал проект запуска широкомасштабной программы «мирных атомных взрывов», подготовленной Ю. Трутневым и Ю. Бабаевым, в том же году Славский стал трижды Героем Социалистического Труда.
В 1963—1965 годах был председателем Государственного производственного комитета по среднему машиностроению СССР.
Член ЦК КПСС с 1961 года. Депутат Верховного Совета СССР 5—9-го созывов.
1980 — удостоен Ленинской премии.
Ноябрь 1986 — вышел на пенсию (в апреле 1986 произошла авария на Чернобыльской АЭС).
Скончался 28 ноября 1991 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.